考研高数——积分中值定理证明
待续
积分中值定理1：设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上连续，则
∃
ξ
∈
[
a
,
b
]
\exists \xi \in [a, b]
∃ξ∈[a,b]，使得：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
f
(
ξ
)
(
b
−
a
)
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = f(\xi)(b-a)
∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)
【证明】
- 解法一：
原式
⇒
\Rightarrow
⇒
f
(
ξ
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
b
−
a
f(\xi) = \frac{\int_a^bf(x) \mathrm{d}x}{b-a}
f(ξ)=b−a∫abf(x)dx
f ( x ) 在 [ a , b ] f(x) 在 [a, b] f(x)在[a,b] 上连续，根据最值定理2，
m ⩽ f ( x ) ⩽ M m \leqslant f(x) \leqslant M m⩽f(x)⩽M
其中， m m m， M M M，分别为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的最小值和最大值，则有
∫ a b m d x ⩽ ∫ a b f ( x ) d x ⩽ ∫ a b M d x \int_a^bm \mathrm{d}x \leqslant \int_a^bf(x) \mathrm{d}x \leqslant \int_a^bM \mathrm{d}x ∫abmdx⩽∫abf(x)dx⩽∫abMdx
根据积分就是面积的几何意义，有
m ( b − a ) ⩽ ∫ a b f ( x ) d x ⩽ M ( b − a ) m(b-a) \leqslant \int_a^bf(x) \mathrm{d}x \leqslant M(b-a) m(b−a)⩽∫abf(x)dx⩽M(b−a)
⇒ m ⩽ ∫ a b f ( x ) d x b − a ⩽ M \Rightarrow m \leqslant \frac{\int_a^bf(x) \mathrm{d}x}{b-a} \leqslant M ⇒m⩽b−a∫abf(x)dx⩽M
根据介值定理2， ∃ ξ ∈ [ a , b ] \exists \xi \in [a, b] ∃ξ∈[a,b]，使得
f ( ξ ) = ∫ a b f ( x ) d x b − a f(\xi) = \frac{\int_a^bf(x) \mathrm{d}x}{b-a} f(ξ)=b−a∫abf(x)dx
证毕。
- 解法二：
由于 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续，根据原函数存在定理，存在
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t F(x)=∫axf(t)dt
由牛顿-莱布尼茨公式及拉格朗日中值定理，有
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = F ′ ( ξ ) ( b − a ) = f ( x ) ( b − a ) \int_a^bf(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a) = F'(\xi)(b - a) = f(x)(b - a) ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F′(ξ)(b−a)=f(x)(b−a)
其中， ξ ∈ ( a , b ) \xi \in (a, b) ξ∈(a,b)
证毕。
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