第五章 定积分及应用

知识点思维导图

一、背景

已知函数y=f(x)，求S的值的一类问题。
分析问题的思路：
(1)
①确定区间[a,b],a=x0<x1<x2…<xn=b
② [a,b]=[x0,x1]U[x1,x2]U…U[xn-1,xn]
③ △xi=xi-1（1《i《n）
(2)在[xi,xi-1]内取任意一点₰i，找到₰i与△Si的关系
(3)设λ=max{△x1,△x2…△xn},找到S与λ、f（₰i）和△xi的关系
例：

1. 如图：已知L:y=f（x）,在[a,b]内，与x轴所围成的面积S是多少？
   
2. 已知速度v=v(t)，t为时间，t∈[a,b],则路程S=？
   

二、定积分的定义

1、定义

2、注解（Notes）：

三、定积分的一般性质

1、注解（Notes）：

2、一般性质：

6、积分中值定理（最重要）

四、积分基本定理（★）

1、两个问题

2、注解（Notes）：

3、定理1

注解（Notes）：

4、定理2（牛顿莱布尼兹公式）

五、定积分的特殊性质

1、对称区间上函数的定积分性质

2、三角函数定积分性质

3、周期函数的定积分性质

六、反常积分

1、正常积分

2、反常积分
（一）区间无限
1、[a—+∞）

判别法：

2、(-∞—a]

3、(-∞—+∞)

注解（Notes）：┏-函数

（二）区间有限
1、(a，b]

判别法：

2、[a，b)

判别法：

3、[a，c)U(c，b]

4、综合题：

七、定积分的几何应用

（一）面积
1、情况1

2、情况2

3、情况3

注解（Notes）：弧微分ds及相关公式

4、情况4

（二）体积
1、情况1

2、情况2

3、情况3（数一，了解即可）

（三）弧长
1、情况1

2、情况2

3、补充

4、例题

5、相关公式图表