玻色哈伯德模型（Bose-Hubbard Model）详解

玻色哈伯德模型是量子多体物理中的一个重要模型，主要用于描述玻色子在晶格中的行为，特别是在冷原子物理和凝聚态物理中。该模型是哈伯德模型的一种扩展，专门针对玻色子，而非费米子。

1. 模型背景

玻色哈伯德模型最初是为了研究在超导体和其他量子物质中，带电粒子（通常是电子或库伦相互作用下的准粒子）的行为。在冷原子物理中，模型被广泛用于描述光晶格中的超冷原子系统。在这些系统中，原子被冷却到极低的温度，形成玻色-爱因斯坦凝聚态，并通过光晶格进行约束。玻色子在晶格中的隧穿和相互作用可以通过玻色哈伯德模型来描述。

2. 模型哈密顿量

玻色哈伯德模型的哈密顿量可以写作：

$$\hat{H}=-t\sum _{⟨i,j⟩}{\hat{b}}_i^{†}{\hat{b}}_j+\frac{U}{2}\sum _i{\hat{n}}_i({\hat{n}}_i-1)-\mu \sum _i{\hat{n}}_i$$

其中：

• ${\hat{b}}_i^{†}$ 和 ${\hat{b}}_i$ 分别是位置 $i$ 处的玻色子产生和湮灭算符。它们满足玻色子交换关系。
• ${\hat{n}}_i={\hat{b}}_i^{†}{\hat{b}}_i$ 是位置 $i$ 处的玻色子数算符。
• $t$ 是粒子在相邻格点之间的隧穿振幅，描述玻色子从一个格点隧穿到相邻格点的概率。
• $U$ 是单个格点上玻色子之间的相互作用能量，通常表示为一个排斥相互作用。
• $\mu$ 是化学势，用于控制系统中的粒子总数。

3. 模型的物理图像

在这个模型中，存在两个主要的竞争因素：

• 隧穿项：这个项倾向于使玻色子在晶格中自由移动，导致粒子在各格点之间平均分布。
• 相互作用项：这个项倾向于限制同一个格点上的玻色子数量，特别是在 $U>0$ 的情况下，导致玻色子倾向于彼此分开。

根据 $t$ 和 $U$ 的相对大小，系统可以表现出不同的相位（phase）。

4. 模型的相位图

玻色哈伯德模型展示了两种主要的相位：

• 超流相 (Superfluid Phase)：当隧穿系数 $t$ 占主导时，系统处于超流相。这种状态下，玻色子可以在晶格中自由移动，且粒子数分布表现出相干性（coherence）。超流态下没有能隙，系统在零温度下具有无穷长的相干性。

• 莫特绝缘相 (Mott Insulator Phase)：当相互作用 $U$ 占主导时，系统进入莫特绝缘相。在这种相位中，每个晶格点上都有一个固定数目的玻色子，且粒子无法自由移动，导致系统表现为绝缘体。在这种状态下存在一个能隙，这个能隙与粒子数的激发有关。

通过改变 $t/U$ 的比值，可以实现从超流相到莫特绝缘相的量子相变。

5. 量子相变

在玻色哈伯德模型中，量子相变指的是在零温度下，当系统参数（如 $t/U$）改变时，从一个量子相位（如超流相）到另一个量子相位（如莫特绝缘相）的跃迁。这种相变是由相干性和相互作用之间的竞争导致的。

• 超流到莫特绝缘的转变：这个量子相变是第二类相变，即相变过程中不会有潜热释放。这种相变发生在临界点 $(t/U{)}_c$，这个临界点取决于晶格的维度、格点数以及粒子数。

6. 实验实现

玻色哈伯德模型可以在实验室中使用超冷原子在光晶格中实现。通过调整光晶格的深度，可以控制隧穿参数 $t$ 和相互作用参数 $U$，从而在实验中观察到超流相和莫特绝缘相，以及它们之间的量子相变。这些实验在验证量子多体理论方面具有重要意义。

总结

玻色哈伯德模型是描述玻色子在晶格中行为的基本模型，它展示了超流相与莫特绝缘相之间的竞争，并揭示了量子相变的基本性质。该模型不仅在理论研究中具有重要地位，还在冷原子实验中得到了广泛应用，是理解量子多体物理和相变的重要工具。