堆$(heap)$数据结构详解

堆是一种特殊的完全二叉树，常用于实现优先队列和堆排序算法。堆分为两种主要类型：最大堆和最小堆。

堆的基本特性

最大堆$(Max$ $Heap)$

• 每个节点的值都大于或等于其子节点的值
• 根节点是堆中的最大值

最小堆$(Min$ $Heap)$

• 每个节点的值都小于或等于其子节点的值
• 根节点是堆中的最小值

堆的表示

堆通常使用数组来表示，利用完全二叉树的特性：

• 对于索引为 i 的节点：
  • 父节点索引：$(i-1)/2$
  • 左子节点索引：$2\ast i+1$
  • 右子节点索引：$2\ast i+2$

时间复杂度

操作	时间复杂度
插入	$O(log$ $n)$
删除	$O(log$ $n)$
获取最大/最小值	$O(1)$
构建堆	$O(n)$

堆是一种高效的数据结构，特别适合需要频繁访问最大或最小元素的场景

模板展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
priority_queue<int,vector<int>>q;//大根堆
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>Q;//小根堆
//加了greater就是小根堆
int main(){
	//增加元素操作:
	q.push(1);
	//删除堆顶
	q.pop();
	//堆的长度
	int a=q.size();
	cout <<a<<endl;
	//堆顶
	q.push(1);
	q.push(2);
	q.push(3);
	cout <<q.top();//堆顶
	return 0;
}

代码展示了大根堆与小根堆的定义和操作
结果将会输出

0
3

若是用Q完成操作，将会输出

0
1

即大根堆的堆顶是最大值，小根堆的堆顶是最小值
每次使用$pop$会弹出堆顶

这里给出手写堆的示例:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+5;
int h[MAXN],len=0;//len记录当前二叉树的长度
void push_s(int x){//上浮，插入新元素
	h[++len]=x;
	int i=len;
	while(i>1&&h[i]<h[i/2]){
		swap(h[i],h[i/2]);
		i=i/2;
	}
}
void pop_s(){//下沉，删除堆头，调整堆
	h[1]=h[len--];//根结点替换为最后一个结点，然后结点数量减1
	int i=1;
	while(2*i<=len){//至少有左儿子
		int son=2*i;//左儿子
		if(son<len&&h[son+1]<h[son])son++;//son<len表示有右儿子，选儿子中较小的
		if(h[son]<h[i]){//与小的儿子交换
			swap(h[son],h[i]);
			i=son;//下沉到儿子处
		}
		else break;//如果不比儿子小，就停止下沉
	}
}//_s小根堆
void push_b(int x){//下沉，插入新元素
	h[++len]=x;
	int i=len;
	while(i>1&&h[i]>h[i/2]){//改为大于号
		swap(h[i],h[i/2]);
		i=i/2;
	}
}
void pop_b(){//上浮，删除堆头，调整堆
	h[1]=h[len--];//根结点替换为最后一个结点，然后结点数量减1
	int i=1;
	while(2*i<=len){//至少有左儿子
		int son=2*i;//左儿子
		if(son<len&&h[son+1]>h[son])son++;//改为大于号，选较大的儿子
		if(h[son]>h[i]){//改为大于号，与大的儿子交换
			swap(h[son],h[i]);
			i=son;//下沉到儿子处
		}
		else break;//如果不比儿子大，就停止下沉
	}
}//_b大根堆
int main(){
	return 0;
}

调用部分自己参考

$主要功能介绍:$

• $push$_$s$
  小根堆的$push$，塞入一个元素$x$并上浮
• $pop$_$s$
  小根堆的$pop$，弹出堆头并下沉
• $push$_$b$
  大根堆的$push$，塞入一个元素$x$并下沉
• $push$_$b$
  大根堆的$pop$，弹出堆头并上浮

例题

$\mid 题目传送门$

P1090 [NOIP 2004 提高组] 合并果子

题目背景

P6033 为本题加强版。

题目描述

在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过 $n-1$ 次合并之后， 就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为 $1$ ，并且已知果子的种类 数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 $3$ 种果子，数目依次为 $1$ ， $2$ ， $9$ 。可以先将 $1$ 、 $2$ 堆合并，新堆数目为 $3$ ，耗费体力为 $3$ 。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 $12$ ，耗费体力为 $12$ 。所以多多总共耗费体力 $=3+12=15$ 。可以证明 $15$ 为最小的体力耗费值。

输入格式

共两行。
第一行是一个整数 $n(1\le n\le 10000)$ ，表示果子的种类数。

第二行包含 $n$ 个整数，用空格分隔，第 $i$ 个整数 $a_i(1\le a_i\le 20000)$ 是第 $i$ 种果子的数目。

输出格式

一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于 $2^{31}$ 。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 
1 2 9

输出 #1

15

说明/提示

对于 $30\%$ 的数据，保证有 $n\le 1000$；

对于 $50\%$ 的数据，保证有 $n\le 5000$；

对于全部的数据，保证有 $n\le 10000$。

例题分析

可以分析
假如有$a,b,c$三堆果子
即合并$a$与$b$后，还需合并$a+b$和$c$
则尽量使$a+b$最小
即满足$a\le b\le c$
那么联想到小根堆(即把堆顶2个数合并)
代码实现如下

AC代码1

直接调用函数
这里注意$x,y$要分开，先弹出堆顶再得到$y$再弹出
注意：$s.size()$需$\ge 2$
因为需要弹出两次

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>s;
int a[MAXN];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        s.push(a[i]);
    }
    int ans=0;
    while(s.size()>1){
        int x=s.top();
        s.pop();
        int y=s.top();
        s.pop();
        ans+=x+y;
        s.push(x+y);
    }cout <<ans;
    return 0;
}

AC代码2

用手写堆
注意是从$h[1]$开始计算的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+5;
int h[MAXN],len=0;
int a[MAXN],sum=0;
void push(int x){
	h[++len]=x;
	int i=len;
	while(i>1&&h[i]<h[i/2]){
		swap(h[i],h[i/2]);
		i=i/2;
	}
}
void pop(){
	h[1]=h[len--];
	int i=1;
	while(2*i<=len){
		int son=2*i;
		if(son<len&&h[son+1]<h[son])son++;
		if(h[son]<h[i]){
			swap(h[son],h[i]);
			i=son;
		}
		else break;
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		push(a[i]);
	}
	while(len>1){
		int x=h[1];
		pop();
		int y=h[1];
		pop();
		sum+=x+y;
		push(x+y);
	}cout <<sum;
	return 0;
}

题单推荐

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附：仅展示模板，习惯使用$MAXN$作为数组最大空间
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