深度学习优化函数详解系列目录

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深度学习优化函数详解（0）-- 线性回归问题
深度学习优化函数详解（1）-- Gradient Descent 梯度下降法
深度学习优化函数详解（2）-- SGD 随机梯度下降
深度学习优化函数详解（3）-- mini-batch SGD 小批量随机梯度下降
深度学习优化函数详解（4）-- momentum 动量法
深度学习优化函数详解（5）-- Nesterov accelerated gradient (NAG)
深度学习优化函数详解（6）-- adagrad

本文延续该系列的上一篇 深度学习优化函数详解（1）-- Gradient Descent 梯度下降法

上文讲到的梯度下降法每进行一次 迭代 都需要将所有的样本进行计算，当样本量十分大的时候，会非常消耗计算资源，收敛速度会很慢。尤其如果像ImageNet那样规模的数据，几乎是不可能完成的。同时由于每次计算都考虑了所有的训练数据，也容易造成过拟合。在某种程度上考虑的太多也会丧失随机性 。于是有人提出，既然如此，那可不可以每一次迭代只计算一个样本的loss呢？然后再逐渐遍历所有的样本，完成一轮（epoch）的计算。答案是可以的，虽然每次依据单个样本会产生较大的波动，但是从整体上来看，最终还是可以成功收敛。由于计算量大大减少，计算速度也可以极大地提升。这种逐个样本进行loss计算进行迭代的方法，称之为 Stochasitc Gradient Descent 简称SGD。

注：目前人们提到的SGD一般指 mini-batch Gradient Descent，是经典SGD的一个升级。后面的文章会讲到。

公式推导

我们再来回顾一下参数更新公式。每一次迭代按照一定的学习率 $\alpha$ 沿梯度的反方向更新参数，直至收敛
$${\theta }_{t+1}={\theta }_t-\alpha \frac{df}{d\theta }$$

接下来我们回到房价预测问题上。线形模型：
$$y_{p,i}=a{x}_i+b$$
这是经典梯度下降方法求loss，每一个样本都要经过计算：
$$loss=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(y_{p,i}-y_i{)}^2$$
这是SGD梯度下降方法：
$$loss=\frac{1}{2}(y_{p,i}-y_i{)}^2$$

要优化的参数有两个，分别是a和b，我们分别对他们求微分，也就是偏微分
$$\frac{\partial loss}{\partial a}=(a{x}_i+b-y_i)x_i$$
$$\frac{\partial loss}{\partial b}=(a{x}_i+b-y_i)$$

$\frac{\partial loss}{\partial a}$ 记为 $\nabla a$ $\frac{\partial loss}{\partial b}$ 记为 $\nabla b$ ,分别表示loss在a、b方向的梯度, 更新参数的方法如下
$$a_{new}=a-\alpha \nabla a$$
$$b_{new}=b-\alpha \nabla b$$

实验

直接看图

关于图中四个子图的意义，请参看 深度学习优化函数详解（1）-- Gradient Descent 梯度下降法

等高线图和loss图都很明显的表现了SGD的特点。总体上收敛，局部有一些震荡。

由于加入了随机的成分，有的时候可能算法有一点点走偏，但好处就是对于一些局部极小点可以从坑中跳出，奔向理想中的全局最优。

实验代码下载：https://github.com/tsycnh/mlbasic/blob/master/p2 origin SGD.py