权值更新

在前面的反向传播中我们计算出每一层的权值W和偏置b的偏导数之后，最后一步就是对权值和偏置进行更新了。

在之前的BP算法的介绍中我们给出了如下公式：

其中的α为学习速率，一般学习率并不是一个常数，而是一个以训练次数为自变量的单调递减的函数。使用变化的学习率有以下几点理由：

1、开始时学习率较大，可以快速的更新网络中的参数，是参数可以较快的达到目标值。而且由于每次更新的步长较大，可以在网络训练前期“跳过”局部最小值点。

2、当网络训练一段时间后，一个较大的学习率可能使网络的准确率不再上升，即“网络训练不动”了，这时候我们需要减小学习率来继续训练网络。

在我们的网络中，含有参数的层有卷积层1、卷积层2、全连接层1和全连接层2，一共有4个层有参数需要更新，其中每个层又有权值W和偏置b需要更新。实际中不管权值还是偏置，还有我们前面计算出了的梯度，都是线性存储的，所以我们直接把整个更新过程用到的数据看作对一维数组就可以，不用去关注权值W是不是一个800*500的矩阵，而且这样的话，权值更新和偏置更新的具体实现可以共用一份代码，都是对一维数组进行操作。

权值更新策略

在caffe中，使用了随机梯度下降(Stochastic gradient descent)的方法进行权值更新。具体如下公式（即动量更新）： 。

其中Δhistory为多次的梯度的累加：。

caffe中的学习率更新策略

在\src\caffe\solvers\sgd_solver.cpp文件的注释中，caffe给出如下几种学习率更新策略：

// Return the current learning rate. The currently implemented learning rate
// policies are as follows:
//    - fixed: always return base_lr.
//    - step: return base_lr * gamma ^ (floor(iter / step))
//    - exp: return base_lr * gamma ^ iter
//    - inv: return base_lr * (1 + gamma * iter) ^ (- power)
//    - multistep: similar to step but it allows non uniform steps defined by
//      stepvalue
//    - poly: the effective learning rate follows a polynomial decay, to be
//      zero by the max_iter. return base_lr (1 - iter/max_iter) ^ (power)
//    - sigmoid: the effective learning rate follows a sigmod decay
//      return base_lr ( 1/(1 + exp(-gamma * (iter - stepsize))))
//
// where base_lr, max_iter, gamma, step, stepvalue and power are defined
// in the solver parameter protocol buffer, and iter is the current iteration.

可以看出，学习率的更新有fixed、step、exp、inv、multistep、poly和sigmoid几种方式，看上边的公式可以很清楚的看出其实现过程。

实际中我们的网络使用的是inv的更新方式，即learn_rate=base_lr * (1 + gamma * iter) ^ (- power)。

Caffe中权值更新的实现

在配置文件\examples\mnist\lenet_solver.prototxt中，保存了网络初始化时用到的参数，我们先看一下和学习率相关的参数。

# The base learning rate, momentum and the weight decay of the network.
base_lr: 0.01
momentum: 0.9
weight_decay: 0.0005
# The learning rate policy
lr_policy: "inv"
gamma: 0.0001
power: 0.75

根据上面的参数，我们就可以计算出每一次迭代的学习率learn_rate= base_lr * (1 + gamma * iter) ^ (- power)。

获取学习率之后，我们需要使用学习率对网络中的参数进行更新。在\src\caffe\solvers\sgd_solver.cpp中包含了进行权值更新的具体函数ApplyUpdate()，下面我们介绍一下这个函数。

template <typename Dtype>
void SGDSolver<Dtype>::ApplyUpdate() {
  CHECK(Caffe::root_solver());
  //GetLearningRate()函数获取此次迭代的学习率
  Dtype rate = GetLearningRate();
  if (this->param_.display() && this->iter_ % this->param_.display() == 0) {
    LOG(INFO) << "Iteration " << this->iter_ << ", lr = " << rate;
  }
  ClipGradients();
  //对网络进行更新，一共4个层，每层有W和b2个参数需要更新，故size=8
  for (int param_id = 0; param_id < this->net_->learnable_params().size();
       ++param_id) {
	//归一化，我们的网络没有用到这一函数
    Normalize(param_id);
	//正则化
    Regularize(param_id);
	//计算更新用到的梯度
    ComputeUpdateValue(param_id, rate);
  }
  //用ComputeUpdateValue计算得到的梯度进行更新
  this->net_->Update();
}

其中的正则化函数Regularize主要进行了 的计算。
ComputeUpdateValue函数分两步，第一步是更新历史偏置值 。

然后将历史偏置值赋值给偏置值。

在ComputeUpdateValue用到了lr_mult学习率因子参数，这个在之前的配置信息里面也见过，同一层中的weight和bias可能会以不同的学习率进行更新，所以也可以有不同的lr_mult。

最后this->net_->Update()函数使用前边ComputeUpdateValue计算出来的偏导数对参数进行了更新 。