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激活函数是用来引入非线性因素的。网络中仅有线性模型的话，表达能力不够。比如一个多层的线性网络，其表达能力和单层的线性网络是相同的（可以化简一个3层的线性网络试试）。我们前边提到的卷积层、池化层和全连接层都是线性的，所以，我们要在网络中加入非线性的激活函数层。一般一个网络中只设置一个激活层。

激活函数一般具有以下性质：

非线性： 线性模型的不足我们前边已经提到。

处处可导：反向传播时需要计算激活函数的偏导数，所以要求激活函数除个别点外，处处可导。

单调性：当激活函数是单调的时候，单层网络能够保证是凸函数。

输出值的范围： 当激活函数输出值是有限的时候，基于梯度的优化方法会更加稳定，因为特征的表示受有限权值的影响更显著；当激活函数的输出是无限的时候，模型的训练会更加高效，不过在这种情况小，一般需要更小的learning rate.

常见激活函数介绍：

实际中可选用的激活函数有很多，如下图：

但不同的激活函数效果有好有坏，现在一般比较常见的激活函数有sigmoid、tanh和Relu，其中Relu由于效果最好，现在使用的比较广泛。3种激活函数具体介绍如下：

Sigmoid函数

Sigmoid函数表达式为： ，它将输入值映射到[0,1]区间内，其函数图像如下图（谷歌和百度搜索框输入表达式就能给出图像，挺好用的）。

Sigmoid有一个十分致命的缺点就是它的导数值很小（sigmoid函数导数图像如下图），其导数最大值也只有1/4，而且特别是在输入很大或者很小的时候，其导数趋近于0。这直接导致的结果就是在反向传播中，梯度会衰减的十分迅速（后面公式的推导过程会证明这一点），导致传递到前边层的梯度很小甚至消失，训练会变得十分困难。

还有就是sigmoid函数的计算相对来说较为复杂（相对后面的relu函数），耗时较长，所以由于这些缺点，现在已经很少有人使用sigmoid函数。

Tanh函数

Tanh函数表达式为： ，其图像为（函数复杂点百度就画不了了 ）：

Tanh函数现在也很少使用。

Relu函数

Relu函数为现在使用比较广泛的激活函数，其表达式为 。当输入x<0时，输出为0；当x>0时，输出等于输入值。

Relu函数相对于前边2种激活函数，有以下优点：

1、relu函数的计算十分简单，前向计算时只需输入值和一个阈值（这里为0）比较，即可得到输出值。在反向传播时，relu函数的导数为 。计算也比前边2个函数的导数简单很多。

2、由于relu函数的导数为，即反向传播时梯度要么为0，要么不变，所以梯度的衰减很小，即使网路层数很深，前边层的收敛速度也不会很慢。

Relu函数也有很明显的缺点，就是在训练的时候，网络很脆弱，很容易出现很多神经元值为0，从而再也训练不动。一般我们将学习率设置为较小值来避免这种情况的发生。

为了解决上面的问题，后来又提出很多修正过的模型，比如Leaky-ReLU、Parametric ReLU和Randomized ReLU等，其思想一般都是将x<0的区间不置0值，而是设置为1个参数与输入值相乘的形式，如αx，并在训练过程对α进行修正。

激活函数层的推导

激活函数层的前向计算

这里我以relu层为例介绍一下激活函数层的推导，由于relu层没有参数，所以不需要进行权值的更新，只需进行梯度的传递。下图还是我们熟悉的那个网络，其中倒数第三层为激活函数relu层。

relu函数的表达式为， 所以前向传播时，大于0的输入不变，小于0的置零即可。

激活函数层的反向传播

Relu函数的导数为 。假设该层前向计算过程为 ，其中f(x)为relu函数。反向传播时已知 ，根据链式求导法则 。

所以反向传播时，只需将前向计算时输入大于0的结点对应的梯度向前传，小于0的结点的梯度置零即可。

Caffe中激活函数层的实现

在caffe中，我们的网络关于激活函数层的配置信息如下：

layer {
  name: "relu1"
  type: "ReLU"
  bottom: "ip1"
  top: "ip1"
}

该层配置信息中各参数含义如下。

name为该层名称。

Type为该层类型，可取值分别为：

(1)ReLU：表示我们使用relu激活函数，relu层支持in-place计算，这意味着该层的输入和输出共享一块内存，以避免内存的消耗。

(2)Sigmoid：代表使用sigmoid函数；

(3) TanH：代表使用tanh函数；

(4) AbsVal：计算每个输入的绝对值f(x)=Abs(x)

(5)power对每个输入数据进行幂运算

f(x)= (shift + scale * x) ^ power

层类型：Power

可选参数：

　　power: 默认为1

　　scale: 默认为1

　　shift: 默认为0

layer {
  name: "layer"
  bottom: "in"
  top: "out"
  type: "Power"
  power_param {
    power: 2
    scale: 1
    shift: 0
  }
}

Caffe中relu层相关的GPU文件有2个，其中\src\caffe\layers\cudnn_relu_layer.cu，是使用的cudnn的api，不再多说。\src\caffe\layers\relu_layer.cu为作者自己写的函数。

前向计算

前向过程代码如下，具体解释见注释部分：

template <typename Dtype>
__global__ void ReLUForward(const int n, const Dtype* in, Dtype* out,
    Dtype negative_slope) {
  CUDA_KERNEL_LOOP(index, n) {
	    //实际执行时negative_slope = 0
    out[index] = in[index] > 0 ? in[index] : in[index] * negative_slope;
  }
}

template <typename Dtype>
void ReLULayer<Dtype>::Forward_gpu(const vector<Blob<Dtype>*>& bottom,
    const vector<Blob<Dtype>*>& top) {
  const Dtype* bottom_data = bottom[0]->gpu_data();
  Dtype* top_data = top[0]->mutable_gpu_data();
  const int count = bottom[0]->count();
  Dtype negative_slope = this->layer_param_.relu_param().negative_slope();
  // NOLINT_NEXT_LINE(whitespace/operators)
  //调用ReLUBackward进行前向计算
  ReLUForward<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(count), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(
      count, bottom_data, top_data, negative_slope);
  CUDA_POST_KERNEL_CHECK;
}

反向传播

代码及注释如下

template <typename Dtype>
__global__ void ReLUBackward(const int n, const Dtype* in_diff,
    const Dtype* in_data, Dtype* out_diff, Dtype negative_slope) {
  CUDA_KERNEL_LOOP(index, n) {
	  //实际执行时negative_slope = 0
    out_diff[index] = in_diff[index] * ((in_data[index] > 0)
        + (in_data[index] <= 0) * negative_slope);
  }
}

template <typename Dtype>
void ReLULayer<Dtype>::Backward_gpu(const vector<Blob<Dtype>*>& top,
    const vector<bool>& propagate_down,
    const vector<Blob<Dtype>*>& bottom) {
  if (propagate_down[0]) {
    const Dtype* bottom_data = bottom[0]->gpu_data();
    const Dtype* top_diff = top[0]->gpu_diff();
    Dtype* bottom_diff = bottom[0]->mutable_gpu_diff();
    const int count = bottom[0]->count();
    Dtype negative_slope = this->layer_param_.relu_param().negative_slope();
    // NOLINT_NEXT_LINE(whitespace/operators)	
	//调用ReLUBackward进行反向计算
    ReLUBackward<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(count), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(
        count, top_diff, bottom_data, bottom_diff, negative_slope);
    CUDA_POST_KERNEL_CHECK;
  }
}