日常生活中的“凹”和“凸”

在日常生活中，“凹”通常指一个物体或表面向内弯曲，而“凸”则指一个物体或表面向外突出。比如：

• 凹：我们一般形容为“凹下去”
  

• 凸：我们一般形容为“凸出来”
  

但数学上的“凹”与"凸"可能有所不同！！！

什么是凹函数和凸函数？

凹函数（Concave Function）

1. 样例

• 想象一个碗倒过来的样子。当你把一个球放在这样的表面上时，球会滚向边缘，不会停留在中间。
• 再想象一个桥拱的形状，上面平坦，下面是弯曲的。无论你在桥拱的哪个地方放一个球，球都会滚向两边。

2. 定义

• 凹函数的定义是：对于函数 $f(x)$ 上的任意两点 $x_1$ 和 $x_2$，以及任意的 $\lambda \in [0,1]$，都有 $f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\ge \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$。
• 也就是说，函数在两点之间的线段始终在函数的图像下方或正好位于图像上。

凹函数的例子：$f(x)=-x^2$。这是一个开口向下的抛物线。

3. 性质

• 局部最大值：如果$f(x)$在某个点$x^{\ast }$达到局部最大值，则$x^{\ast }$也是全局最大值点。
• 导 数 : 如 果 $f(x)$是可导的，则$f^{\prime }(x)$是递减的(即$f^{\prime \prime }(x)\le 0$)。
• 和：如果$f(x)$和$g(x)$都是凹函数，则$f(x)+g(x)$也是凹函数。
• 线 性 变 换 : 如 果 $f(x)$是凹函数，那么对于任何常数$c$,$cf(x)$也是凹函数；如果$A$是一个线性变换矩阵，则$f(Ax)$也是凹
  函数。

凸函数（Convex Function）

1. 样例

• 想象一个碗的正常样子。当你把一个球放在这样的表面上时，球会滚向底部，停留在中间。

2. 定义

• 凸函数的定义是：对于函数 $g(x)$ 上的任意两点 $x_1$ 和 $x_2$，以及任意的 $\lambda \in [0,1]$，都有 $g(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda g(x_1)+(1-\lambda )g(x_2)$。

• 也就是说，函数在两点之间的线段始终在函数的图像上方或正好位于图像上。

• 凸函数的例子：$g(x)=x^2$。这是一个开口向上的抛物线。

$\begin{array}{rl}& \text{假设 }g(x)=x^2\text{,这是一个典型的凸函数。我们选择两个点 }{x}_1=1\text{ 和 }{x}_2=3\text{,以及 }\lambda =0.5\text{。}\\ & \bullet \lambda x_1+(1-\lambda )x_2=0.5\cdot 1+0.5\cdot 3=2\\ & \bullet g(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)=g(2)=2^2=4\\ & \bullet \lambda g(x_1)+(1-\lambda )g(x_2)=0.5\cdot 1^2+0.5\cdot 3^2=0.5+4.5=5\end{array}$
$\text{可以看到 }g(2)=4\le 5=0.5\cdot 1^2+0.5\cdot 3^2\text{,符合凸函数的定义。}$

3.性质

• 局部最小值：如果$g(x)$在某个点$x^{\ast }$达到局部最小值，则$x^{\ast }$也是全局最小值点
• 导数 : 如 果 g( x)是可导的，则$g^{\prime }(x)$是递增的 (即$g^{\prime \prime }(x)\ge 0)$
• 和：如果$g(x)$和$h(x)$都是凸函数，则$g(x)+h(x)$也是凸函数
• 线性变换：如果$g(x)$是凸函数，那么对于任何常数$c$,$cg(x)$也是凸函数；如果$A$是一个线性变换矩阵，则$g(Ax)$也是巴
  函数。

应用

• 优化问题：在优化问题中，如果我们想找到一个函数的最小值，而这个函数是凸的，那么找到全局最小值就相对容易。相反，如果函数是凹的，我们需要找到的是最大值。