从机构学与机器人学的发展历史上来看，机构学与机器人学的发展与数学工具是息息相关的。与机构学与机器人学联系紧密的数学工具有很多：如传统意义上的 线性代数与矩阵理论、用于拓扑结构分析及综合的图论(graph theory) 等；随着科技的飞速发展，促进了机器人学与机构学研究领域的不断拓新，对其理论支撑的要求也越来越高，如高速、重载、精微等，应用传统的数学工具解决这些问题有时变得十分困难甚至无能为力，而新的数学工具可以为之提供新方法、新思路、新途径。现代数学工具有 线几何(line geometry)理论、李群李代数及旋量理论(Lie group、Lie algebra and screw theory)、Clifford代数（几何代数) 等。目前最具典型性的代表是李群李代数与旋量理论，以其独特的优点在现代物理学和刚体运动领域取得了成功的应用，在机构学与机器人学研究领域里越来越受到学者的重视，再加上计算机的发明与大量算法的优化大大提高了机构分析与综合过程中遇到计算问题的计算效率，使数学工具日渐成为现代机构学和机器人学研究的有效分析工具^{1 2 3}。

1. 基于旋量理论的运动学

机器人机械臂通常是由一系列连杆通过旋转关节或移动关节（运动副）组合连接而成的多自由度空间开式或闭式链机构。首先需要明确这些运动连杆之间的位置坐标关系，进而描述它们的相对运动关系，建立从基坐标到末端工具坐标系的坐标变换关系，用以研究机器人的运动规律，实现从关节空间到笛卡尔空间之间的映射⁴,机器人学中常用的方法是D-H参数描述法，但是另一种基于旋量理论的数学描述方法可以更好地用来描述这种运动关系⁵。从19世纪初期开始，学者Chasles和Poinsot就已经在其相关著作中梳理介绍了旋量理论的基本原理及相关性质，其中Chasles证明：刚体从一个位置运动到另一个位置，其变换形式可以通过绕某一直线的转动叠加上沿平行于该直线的移动来等效表示，称这种移动与转动的组合为螺旋运动，而螺旋运动的无穷小量可以由李群光滑流形的切空间向量来表示，也称为旋量，对应于这两种运动形式，刚体的瞬时速度则可以用其线速度分量和角速度分量来全局描述。另一方面，Poinsot论证了旋量理论还可以用来描述作用在刚体上的力矩和力之间的关系，即作用在刚体上的所有力系统可以等效为一个绕某直线上的力矩叠加上一个作用于该直线的集中力，同样的，称这种力矩和力的组合为力螺旋，也称为力旋量，且证明了力螺旋与运动螺旋存在着对偶关系例。因此，一个旋量可以表示空间的一组对偶矢量，既可以表示运动学中的角速度和线速度，又可以表示刚体力学中的力和力矩，这样使得旋量理论非常适合应用于机构的运动学和动力学分析中。到了19世纪末，英国剑桥大学的R.S.Ball教授首次对旋量理论进行了系统全面的研究和论述，并完成经典著作《旋量理论》，探讨了旋量理论应用于刚体运动学上表示一阶速度的关系，且分析了所有旋量线性组合的一般运动情况。但是在Ball的经典著作问世后的半个世纪，旋量理论几乎无人问津，并没有引起研究学者的注意。直到1950年，学者F.M.Dimentberg将旋量理论引入到机构学的研究中，应用运动螺旋分析了空间机构。接着，Freudenstein、Yang、Hut等人将微分螺旋运动、对偶四元数等理论用于空间机构的位移和动力分析中，Phillips等人应用旋量理论分析了刚体运动的动力学能量表达方程。黄真等人 ⁶是我国研究旋量理论最早的学者，不仅应用旋量理论系统地分析了并联机器人的瞬时螺旋运动，且在其专著中详细系统地介绍了旋量理论在机构学中的应用，大大推动了对并联机器人机构学的发展。1994年，Frank C.R Park等人应用李群理论对机器人的动力学递推算法进行了推导，也研究了基于旋量理论的运动学误差模型的建立及涉及到的一些数理特性。

随着机器人技术的快速发展，旋量理论以独特的优势逐渐崭露头角，表现出强大的生命力。用旋量理论来描述刚体运动学问题具有以下优点：

(1)它只需要用两个坐标系，即惯性坐标系和工具坐标系。这样可以在惯性坐标系中从整体上来描述刚体的运动，并提供完整、明显的几何描述，即利用6自由度参数来完整地描述相邻两个坐标系之间的位姿关系，具有完备性，从而避免了DH模型缺乏完备性的缺陷21；

(2)从全局坐标系来描述刚体的运动状态，即克服了D-H模型相对坐标系局部参数产生奇异性的缺点，即具备连续性；

(3)可以从全局的角度清晰地描述刚体的运动特性，简化对复杂机构的分析，避开了数学符号抽象的缺点；

(4)基于旋量描述方法明显几何意义的优点，当利用指数积进行运动学逆解求解时，可以很好地确定产生多解的条件和个数，便于筛选。

综上，其几何概念清楚、物理意义明确、表达方式简单、代数运算高效等优点使得旋量理论可以清晰地描述刚体的运动特性，更好地揭示机器人“运动”的本质属性2，且与其他矩阵法、矢量法、和运动系数法之间能较方便地转化。

进入21世纪，李群李代数与旋量理论在机器人学、空间机构学、计算几何、空间多体运动学及动力学等相关领域具有越来越广泛地应用，相关的学术成果也陆续推出。Richard,李泽湘等⁷在其专著中汇集了基于旋量理论及指数级形式的机器人研究新领域的最新文献及成果。Sariyildiz等在旋量指数积方法法中引入四元数，并基于已知的3个Paden-Kahan经典子问题对常见机器人结构的运动学问题进行了详细分析及求解。HUANG等人将李群李代数及旋量理论应用于3-RPS并联机构的运动描述及特性分析中。张付祥等人同样基于已知的3个Paden-Kahan经典子问题，采用旋量法对闭链级联式机器人进行了运动学问题的探讨及分析。丁希伦等人将李群李代数这个几何工具拓展应用到空间柔性机构的误差和性能分析中，并取得了一定的成果。

2. 基于旋量理论的几何误差建模

旋量理论在建模方面的优点还体现在另一个方面，即机器人的离线编程技术。机器人离线编程系统是利用计算机图形学的相关研究成果，在计算机中模拟建立机器人系统及其工作环境，再自行设计一些运动学逆解及轨迹规划算法，在离线情况下进行轨迹示教，进而产生机器人离线自动控制程序，用于模拟真实操作中机器人的运动控制情况，该方法受益于当前计算机的高速发展，能够实现对柔性加工的高精度要求，由此可以看出离线编程技术对机器人的绝对精度也提出了较高的要求。目前，大多数成熟的机器人产品重复定位精度在0.1mm数量级，但机器人系统的绝对精度有的却在cm数量级。这样的绝对精度已经不能满足现代工业发展，尤其是离线编程技术的精度要求，因此如何提高机器人系统的绝对位置精度已经成为离线编程系统实用化的关键技术之一。而机器人系统末端绝对位置跟其每个关节的几何参数精度息息相关，因此国内外很多学者进行了机器人几何参数标定方面的研究，但是如何寻求一种高精度且便捷的参数误差建模及辨识方法仍是一个难题。

参数辨识的基础即建立合理有效的运动学误差模型，如果采用常见的DH法来建立运动学模型是DH,则存在以下几点缺点：

(1)根本缺陷在于D-H法只能用4自由度参数来描述运动学关系，其所描述的关节运动都是关于X轴和Z轴的，无法表示关于Y轴的运动，即缺乏完备性；

(2)在相邻关节轴线平行时，关节真实结构参数的微小误差会对末端测头的三维空间位姿精度产生巨大的影响，说明D-H模型存在奇异性，此时机器人的末端执行器无法通过D-H参数法来建立微小位置误差模型。

针对这些不足，许多学者对D-H模型进行了改进或提出新的模型。Zhuang H.和Roth Z.S等人提出了CPC模型，它是通过增加参数来确保运动学模型的连续性。Stone H.等人则提出了S模型，该模型也是通过采取增加两个参数的方式来满足运动学模型3原则。朱威基于5参数的MD-H模型，推导出了串联机器人的几何参数误差模型，但这些模型由于参数数量多，建模复杂，辨识效率较低，缺乏明显的几何意义。现在已经有些学者尝试将旋量的优越性结合到该领域的研究中，应用旋量理论的运动学模型进行微分处理得到几何参数误差模型。Fsoi等人基于螺旋理论在3-URU并联机构中进行位姿误差分析，并建立了分析间隙对并联机构运动精度的新方法；Mng等人4基于李群微分流形理论，分析了运动副间隙对并联机构的精度影响情况，并指出在不考虑连杆的弹性情况下，那么过约束机构在运动副轴线几何约束误差的影响下将丧失一定的运动自由度。F.C.Park和K.Okamura等人给出了串联机器人基于指数积公式的误差模型，具备明确定义的微分形式，但是该模型中含有定积分项，给实际工程应用带来不便。基于旋量理论的指数积方法能使机器人运动建模更加方便，因此通过研究指数积公式在串联机构运动学参数辨识中的工程实用问题，完善其在标定方面中的理论和方法，可以使实际标定过程中各坐标系关系处理更加简单，提高标定的操作性。这些研究方法对串联机构运动学的标定方法和理论的充实、完善和拓展有很大促进作用。但该建模方法尚未广泛地应用于机器人运动学标定，相关误差建模和参数辨识两方面的研究均未完善，且在国内该领域的研究还刚刚起步。

3. 基于旋量理论的动力学建模

近年来，旋量理论在机器人递推动力学建模中的应用也越来越受重视。李泽湘等人的著作除了把旋量理论在运动学中的应用作了具体介绍，在动力学方面对拉格朗日方程和牛顿-欧拉方程也作了详细地论述并给出了旋量理论的应用事例，且对机器人的非完整约束及多轴运动控制问题进行了详细的阐述。Garett A.Sohl等人与FC.Park等人用李群李代数及旋量理论方法对运动参数的灵敏度进行了分析，并在此基础上建立了空间多体系统的动力学建模方法。黄晓华等人以平面2机械手为例，用旋量理论方法来分别描述拉格朗日方程和牛顿-欧拉方程，计算机器人的每个连杆在全工作空间内的动力学递推公式，最终联合得到整个机器人多关节系统的动力学方程矩阵表达式。Anish K Mampetta等人在两自由度机械手研究中引入李群李代数及旋量理论，得到其在重力作用下的动力学方程。丁希仑、王兴成等人在三维空间内应用旋量理论研究两关节柔性变形杆件机器人的动力学问题，在一定程度上拓展了旋量理论的研究范围。

在众多机器人动力学建模方法中，除了经典拉格朗日方程和牛顿-欧拉方程动力学建模方法之外，凯恩方程拥有便利性，计算高效，且与旋量理论结合将体现出一定的价值。凯恩方程应用达朗伯原理建立动力学方程，建模过程兼顾矢量力学和分析力学的分析方法和优点，且该方法既适用于完整系统也适用于非完整系统。尤其对于自由度数量较多的复杂空间多体系统，凯恩方法应用一阶微分方程可以避免再次求导运算，且计算步骤能借助计算机程式化运行，高效便捷。凯恩休斯顿方法就是凯恩方法在多刚体系统中的具体应用。闵磊比较了凯恩方程与拉格朗日方程的主要区别，突出了凯恩方程适用性广，物理量含义明显，计算形式简单，求解过程更有利于计算机实现等优点。凯恩方法的另一个优点是应用范围较广，除了多自由度的刚性离散系统外，还可以结合有限元法建立具有弹性结构的复杂多体系统的动力学，如大型航天器。从本质上来讲，凯恩方程是用一阶的“微分速度”代替了原有的“位置坐标”作为系统的独立变量，且在完整系统或非完整系统中都能比较方便地选取该“微分速度”(称为“广义速率”)。选取独立速度使所得到的偏速度和偏角速度愈简单愈好，考虑旋量理论描述运动状态的便利性，将旋量概念应用于凯恩方程的动力学建模中，结合两者的优点，基于旋量描述选取具有明确物理意义的广义速率，在处理实际问题时能够简化动力学方程，明确各参数的物理意义，对动力学建模的效率将有很大的提高。

摘录自陈庆诚. 结合旋量理论的串联机器人运动特性分析及运动控制研究[D].浙江大学,2015.

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1. 于靖军。机器人机构学的数学基础M.机械工业出版社，2008. ↩︎

2. Selig J.Geometrical foundations of robotics[M].World Scientific Publishing Co.,Inc.,2000. ↩︎

3. Crane C,Rico J,Duffy J.Screw theory and its application to spatial robot manipulators [M].
   London,Cambridge University Press.2006. ↩︎

4. Sciavicco L,Siciliano B.Modelling and control of robot manipulators[M].Springer Science Business Media,2000.
   ↩︎

5. 理查德·摩雷，李泽湘，夏恩卡·萨思特里.机器人操作的数学导论[M].机械工程学报.1998:40 ↩︎

6. 黄真，赵永生，赵铁石.高等空间机构学[M].高等教育出版社,2006 ↩︎

7. Murray R M,Li Z,Sastry S S.A mathematical introduction to robotic manipulation[M], CRC,1994. ↩︎