通信原理03：模拟信号数字化

通信原理模拟信号数字化：采样、量化、编码

m0_46521579

1793人浏览 · 2022-09-16 15:15:55

m0_46521579 · 2022-09-16 15:15:55 发布

一、采样

1. 低通采样定理

原始信号： $m(t)$ ，低频带限信号，频谱为 $M(w)$ ， $w\leq w_H$

采样脉冲： $\delta_{T_s} (t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s)$ ，频谱为 $\delta_{T_s}(w) = \frac{2\pi}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(w-nw_s)$

采样信号： $m_s(t) = m(t) \delta_{T_s}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT_s) \delta(t - nT_s)$

采样信号频谱：

$M_s(w) = \frac{1}{2\pi} M(w) \otimes \delta_{T_s}(w) \\= \frac{1}{2\pi} M(w) \otimes \frac{2\pi}{T_s} \sum_{n = -\infty}^{\infty} \delta(w-nw_s) \\= \frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} M(w-nw_s)$

当 $w_s \geq 2w_H$ 时，可利用理想低通滤波器从采样信号频谱中提取原始信号频谱，从而重建原始信号。

当 $w_s < 2w_H$ 时，采样信号频谱中周期延拓的原信号频谱发生混叠，无法利用滤波器从采样信号频谱中提取原始信号频谱。

重建原始信号：

理想低通滤波器： $H(w) = \left\{\begin{matrix} 1 & |w| \leq w_H \\ 0 & {\rm others} \end{matrix}\right.$

低通滤波后的信号： $M_r(w) = M_s(w)H(w) = \frac{M(w)}{T_s}$

$m_r(t) = \frac{ m(t) }{T_s}$

$m_r(t) = m_s(t) \otimes h(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT_s) \delta(t - nT_s) \otimes \frac{w_H}{\pi} Sa(w_H t) \\= \sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT_s) \delta(t - nT_s) \otimes \frac{w_H}{\pi} \frac{\sin(w_H t)}{w_H t} \\= \frac{w_H}{\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT_s) \frac{\sin(w_H (t - nT_s))}{w_H (t - nT_s)}$

2. 带通采样定理

带通采样无失真的必要条件之一： $f_s \geq 2B$

$2f_H = mf_s$

$f_s = \frac{2f_H}{m} \geq 2B$

$m \leq \frac{f_H}{B}$

如果 $f_H = nB+kB$ ， $0<k<1$ ，则

$f_s = \frac{2f_H}{m} = \frac{2f_H}{\left \lfloor f_H /B \right \rfloor} = \frac{2nB+2kB}{n} = 2B\left[ 1+\frac{k}{n} \right]$

3. 实际采样

（1）自然采样

$G_a(t) = \left\{\begin{matrix} 1 & |t| < a \\ 0 & others \end{matrix}\right.$

自然采样抽样脉冲： $p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} G_a(t-nT_s) = G_a(t) \otimes \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s)$

$m_s(t) = m(t) p(t) = m(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} G_a(t-nT_s) = m(t) \cdot \left[ G_a(t) \otimes \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s) \right]$

$M_s(w) = \frac{1}{2\pi} M(w) \otimes \left[ 2aSa(wa) \cdot \frac{2\pi}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(w-nw_s) \right ] \\= \frac{2a}{T_s} M(w) \otimes \sum_{n=-\infty}^{\infty} Sa(nw_s a) \delta(w-nw_s) \\= \frac{2a}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} Sa(nw_s a) M(w-nw_s)$

（2）平定采样

$m_s(t) = \left[ m(t) \delta_{T_s}(t) \right ] \otimes G_a(t)$

$M_s(w) = \left[ \frac{1}{2\pi} M(w) \otimes \frac{2\pi}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(w-nw_s) \right] 2a Sa(wa) \\= \frac{2a}{T_s} Sa(wa) \sum_{n=-\infty}^{\infty} M(w-nw_s) \\= \frac{2a}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} Sa(wa) M(w-nw_s)$

二、量化

1. 量化的基本概念

量化误差： $q = x- y = x-Q(x)$

输入信号 $x$ 为随机分布，因此量化误差 $q$ 也是一个随机变量。

量化误差的大小：均方误差/平均功率

$\sigma_q^2 = E\left[ q^2 \right ] = E\left[ (x-Q(x))^2 \right ] \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ x-Q(x) \right]^2 p(x) dx \\ = \sum_{k=1}^{L} \int_{x_k}^{x_{k+1}} (x-y_k)^2 p(x) dx$

量化信噪比： $SNR = \frac{S}{\sigma_q^2}$

量化信噪比的定义对于所有量化器均适用，量化信噪比越大，表示量化器性能越好。

2. 均匀量化

把输入信号的取值域按等间隔分割的量化称为均匀量化。其中，每个量化区间的量化电平的取值在各区间的中点。

设量化范围为 $[-V,V]$ ，量化电平数 $L$ ，量化间隔 $\Delta V = \frac{2V}{L}$

分层电平：

$x_k = -V + (k-1)\Delta V$ ， $k = 1,2,\cdots ,L+1$

量化电平：

$y_k = x_k + \frac{\Delta V}{2} = -V + (k-1) \Delta V + \frac{\Delta V}{2} = -V + (k-0.5) \Delta V$ ， $k = 1,2,\dots,L$

设输入信号 $x$ 分布于 $[-V,V]$ ，概率分布为 $p(x)$ ，无过载。

设 $L \gg 1$ ，则 $p(x) \approx p(y_k)$

$\sigma_q^2 = E\left[ q^2 \right ] = E\left[ (x-Q(x))^2 \right ] \\ = \int_{-V}^{V} \left[ x-Q(x) \right]^2 p(x) dx \\ = \sum_{k=1}^{L} \int_{x_k}^{x_{k+1}} (x-y_k)^2 p(x) dx \\ \approx \sum_{k=1}^{L} p(y_k) \int_{x_k}^{x_{k+1}} (x-y_k)^2 dx \\= \sum_{k=1}^{L} p(y_k) \int_{-\frac{\Delta V}{2}} ^{\frac{\Delta V}{2}} v^2 dv \\= \sum_{k=1}^{L} p(y_k) \left[ \frac{v^3}{3} \right ]_{-\frac{\Delta V}{2}} ^{\frac{\Delta V}{2}} \\= \sum_{k=1}^{L} p(y_k) \frac{\Delta V ^3}{12} \\= \sum_{k=1}^{L} P_k \frac{\Delta V ^2}{12} = \frac{\Delta V^2}{12} = \frac{V^2}{3L^2}$

设量化器输入信号为正弦信号 $s(t) = A_m cos(wt + \phi)$ ， $A_m \leq V$

$SNR = \frac{S}{\sigma_q^2} = \frac{\frac{A_m^2}{2}}{\frac{V^2}{3L^2}} = \frac{3A_m^2 L^2}{2V^2} = 3D^2L^2$

其中， $D = \frac{A_m / \sqrt{2}}{V}$

取量化电平数为 $L = 2^n$

$SNR = 3D^2 2^{2n}$

3. 非均匀量化

在信号取值小的区间，量化间隔小；在信号取值大的区间，量化间隔大。

当 $L \gg 1$ 时， $p(x) = p(y_k)$

$\sigma_q^2 = E\left[ q^2 \right ] = E\left[ (x-Q(x))^2 \right ] \\ = \int_{-V}^{V} \left[ x-Q(x) \right]^2 p(x) dx \\ = \sum_{k=1}^{L} \int_{x_k}^{x_{k+1}} (x-y_k)^2 p(x) dx \\ \approx \sum_{k=1}^{L} p(y_k) \int_{x_k}^{x_{k+1}} (x-y_k)^2 dx \\ = \sum_{k = 1} ^{L} p(y_k) \int_{-\frac{\Delta_k}{2}}^{\frac{\Delta_k}{2}} v^2 d v \\= \sum_{k = 1} ^{L} p(y_k) \frac{\Delta_k^3}{12} \\= \frac{1}{12} \sum_{k=1}^{L} P_k\Delta_k^2 \\= \frac{1}{12} \sum_{k=1}^{L} \int_{x_k}^{x_{k+1} } \Delta_k^2 p(x) dx \\= \frac{1}{12} \int_{-V}^{V} [\Delta_k(x)]^2 p(x) dx$

$\Delta_z = \frac{2V}{L}$

$\frac{\Delta_z}{\Delta_k} = \frac{dz}{dx} = f^{'}(x)$

$\sigma_q^2 = \frac{1}{12} \int_{-V}^{V} \Delta_k^2 p(x) dx \\= \frac{1}{12} \int_{-V}^{V} \frac{\Delta_z^2}{ [f^{'}(x)]^2} p(x) dx \\= \frac{\Delta_z^2}{12} \int_{-V}^{V} \frac{p(x)}{[f^{'}(x)]^2} dx$

对数量化器压缩特性： $f(x) = \frac{1}{B} \ln(x)$

$\sigma_q^2 = \frac{\Delta_z^2}{12} \int_{-V}^{V} \frac{p(x)}{[f^{'}(x)]^2} dx \\= \frac{\Delta_z^2}{12} \int_{-V}^{V} B^2 x^2 p(x) dx\\= \frac{B^2 \Delta_z^2}{12} \int_{-V}^{V} x^2 p(x) dx \\= \frac{B^2 \Delta_z^2}{12} S$