在计算机中，直接拖动去绘制曲线很难获得想要的图形，法国工程师发表了贝塞尔曲线的概念，贝塞尔曲线是计算机图形图像造型的基本工具，是图形造型运用得最多的基本线条之一

二次贝塞尔曲线

下面的链接可以直观的，拖动第三点即可感受到贝塞尔曲线的“圆滑”

贝塞尔曲线绘制：贝塞尔曲线在线绘制🚀

在如下图形中：

P1Pa:PaP0=P2Pb:PbP1=PbPt:PtPa=t

Pt的运动绘制出曲线

运动公式为

在Python中的实现方式，注意得先下载matplotlib库

from matplotlib import pyplot  #导入pyplot库
import numpy as np  #导入numpy库
points = [
    [0,0],
    [1,0],
    [1,1],
    [2,1]
]

points = np.array(points) #把列表转换为数组


# 通过递归构造贝塞尔曲线
def calNextPoints(points, rate): # 如果给定了具体的n， 那么可以直接得到计算方程
    if len(points) == 1:
        return points  #若最后一个点，返回

    left = points[0]
    ans = []
    for i in range(1, len(points)): # 根据比例计算当前的点的坐标，一层层的推进
        right = points[i]
        disX = right[0] - left[0]
        disY = right[1] - left[1]

        nowX = left[0] + disX * rate
        nowY = left[1] + disY * rate
        ans.append([nowX, nowY])  #将nowX和nowY填入ans数组中

        
        left = right #更新left

    return calNextPoints(ans, rate) #继续递归

X = []
Y = []
for r in range(1, 100):    #循环次数越多，画出的图形越平滑
    r = r / 100
    a = calNextPoints(points, rate=r)  #计算位置
    x = a[0][0]
    y = a[0][1]
    X.append(x)  
    Y.append(y)


print(points[:,1])
pyplot.scatter(points[:,0], points[:,1], c='red') #画出散点位置
pyplot.plot(X, Y) #根据点集画出曲线

pyplot.show()

画出后的效果如下：

 三次贝塞尔曲线

三次曲线是拿三条直线取相同比例的点连接而成，再在形成的双线基础上面取对应比例的点，再在最后形成的线上面取对应比例的点运动而形成

三次贝塞斯曲线绘制过程如下图：

曲线运动公式如下图：

 

from matplotlib import pyplot
import numpy as np
points = [
    [0,0],
    [1,0],
    [1,1],
    [2,1],
    [3,1],
    [1,3],
]

points = np.array(points)



# 通过递归构造贝塞尔曲线
def calNextPoints(points, rate): # 如果给定了具体的n， 那么可以直接得到计算方程
    if len(points) == 1:
        return points

    left = points[0]
    ans = []
    for i in range(1, len(points)): # 根据比例计算当前的点的坐标，一层层的推进
        right = points[i]
        disX = right[0] - left[0]
        disY = right[1] - left[1]

        nowX = left[0] + disX * rate
        nowY = left[1] + disY * rate
        ans.append([nowX, nowY])

        # 更新left
        left = right

    return calNextPoints(ans, rate)

X= []
Y = []
for r in range(1, 100):
    r = r / 100
    a = calNextPoints(points, rate=r)
    # print(a)
    x = a[0][0]
    y = a[0][1]
    X.append(x)
    Y.append(y)


print(points[:,1])
pyplot.scatter(points[:,0], points[:,1], c='blue')
pyplot.plot(X, Y)

pyplot.show()

画出后效果如下：