1. 正态分布的极大似然估计

笔记来源：Maximum Likelihood For the Normal Distribution, step-by-step!!!

1.1 正态分布的参数对其形状的影响

1.1.1 μ值对正态分布的影响

1.1.2 σ值对正态分布的影响

1.2 极大似然估计

极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法【引用自：一文搞懂极大似然估计】

P(所求 | 已知)、L(所求 | 已知)
概率是已知模型和参数，推数据 $P(x|\mu ,\sigma )$

统计是已知数据，推模型和参数 $L(\mu ,\sigma |x)$【引用自：详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解】

我们简单的计算一下某个数据32在两个正态分布下的似然值
$$\begin{gathered} L(\mu =28，\sigma =2|x=32) \\ L(\mu =30，\sigma =2|x=32) \end{gathered}$$

寻找极大似然估计的流程解释：
1.固定标准差，改变均值，计算出所给数据在正态分布（标准差相同、均值不同）下的似然值，绘制均值似然值函数图像，函数图像导数为0的地方就是均值的极大似然
2.将第一步中找到的均值最大似然固定下来，这次我们只改变标准差，计算出所给数据在正态分布（均值相同、标准差不同）下的似然值，绘制标准差似然值函数图像，函数图像导数为0的地方就是标准差的极大似然

因为要完成上面流程需要大于1个观测数据，但为了解极大似然估计图像如何绘制，我们这里先以一个数据来展示

寻找最优标准差需要大于1个数据

接下来进入正题：计算n个数据的极大似然估计

为方便处理，我们将上式两端同时取对数
取对数不改变极值的位置

首先对上面的等式求$\mu$的偏导（将$\mu$视为变量，将$\sigma$视为常数），然后令其等于0，找到均值的极大似然估计

上面我们找到了均值的极大似然估计，接下来上面的等式求$\sigma$的偏导（将$\sigma$视为变量，将$\mu$视为常数），找到标准差的极大似然估计