位置式PID算法

  位置式$PID$算法是一种比较直观的的$PID$算法，如系统框图中所示，$in$表示设定值，$error$表示差值，$u$表示控制器输出值，$out$表示被控量。算法表达式如下：

增量式PID算法

  增量式$PID$算法不比位置式更直观，当执行机构需要控制量的增量时，适合采用增量式$PID$算法，比如步进电机控制。算法表达式如下：


  也可用后向差分法进行离散化，$PID$的连续传递函数为

令

将$s$表达式代入到$G$_c$(s)$中，得

积分分离PID算法

  $PID$算法中,积分可消除稳态误差，提高控制精度，在系统启动或设定值大幅改变时，被控量与设定值之间会产生较大的偏差，造成过大的积分积累，甚至使控制量超过执行机构允许最大动作范围对应的极限控制量，引起系统过大的超调量，从而振荡，为避免这些不利的情况出现，可在被控量与设定值之间有较大偏差时，取消积分作用，避免超调量增大；当被控量接近设定值时，引入积分控制，消除稳态误差，提高控制进度。
  设被控量与设定值之间的偏差阈值为$X>0$，该值人为设定，即

算法表达式如下：

梯形积分PID算法

  在$PID$算法中，积分项的作用就是为了消除稳态误差，故而提高积分项的运算精度能更好的提高控制精度。在单片机中，对于积分运算通常使用累加的形式，也就是矩形积分，即

上述式子在程序中经常这样使用，但在$PID$算法中，并不是这样，这不得不从原始的$PID$算法说起，其表达式如下所示。

将其离散化，我们将时间$t$当做一个时刻，即第一时刻，第二时刻，第三时刻，用$k$表示，相邻两个时刻之间的时长为$T$，比如说$T=1s$,那么第一时刻即$k=1$时表示第一秒，第二时刻即$k=2$时表示第二秒，于是

也就是说，从严格意义来讲，积分项应该为

为方便编程计算把系数项全部整合在一块，称之为积分系数，所以就把$T$省略了。积分从图像上来看，就是求面积。因此在单片机中计算积分的思路就是把图形划分为宽度为$T$高度为$error(n)$的$n$个等份，然后将所有矩形面积相加便可近似为求积分的过程。$T$越小矩形面积和越接近于积分运算，但在实际工程中，$T$不可能太小，因为$T$实际上就是采样时间，也是$PID$的计算周期，$T$过小会加大单片机的负担。这样的计算方式很直观，但计算的精度较低，误差大。假设偏差$error$在某段时间服从函数$error=-a\ast t+b$,如下所示

那么积分运算就是指

很明显，这使得每个矩形上面填充红色的三角形都参与了计算，使得积分运算精度大大降低，为避免出现过大的误差或者进一步提高运算精度，引入梯形积分的概念，只计算$error$曲线以下的部分，即梯形的面积

故梯形积分的$PID$的表达式为

  当偏差$error$不服从线性关系，或者是其他一些曲线，则不会向示例中那般毫无误差，仍会有些许误差无法计算到，但同矩形积分相比，运算精度已经得到了很大的改善。

带死区的PID算法

  带死区的$PID$算法主要用于存在闭环死区的系统，当系统达到稳态时，系统的输出值仍在设定值上下有微小的震荡，其算式为

  $e(k)$表示偏差，$e$₀表示人为设定的一个阈值，当$e(k)=0$时，控制器的输出也会逐渐降为$0$，这是由于积分的原因，而对于$PD$或$P$控制，当$e(k)=0$时控制器的输出会迅速衰减到$0$。例如直流电机的位置控制，当电机转动到预定位置时，如果存在一些干扰，电机会在预定位置上下震荡，此时引入一个死区，位置环控制器输出就会为0，系统也就稳定下来了。

变速积分PID算法

  变速积分$PID$算法与积分分离$PID$算法本质上相同，都是为了减小系统超调，提高系统响应速度，但是积分分离$PID$算法较为粗暴，变速积分$PID$算法则是根据偏差$error$的大小来改变积分的速度，偏差越大，积分越慢，反之越快。即积分项的表达式为

$\beta$是关于偏差$error$的函数，即

其中$A,B$表示人为设定的阈值，则变速积分PID算法的表达式为

带滤波器的PID算法

  当系统中存在高频干扰时，会使得系统变得不稳定，另外，在$PID$算法中，微分项会将高频干扰放大，所以需要将高频干扰过滤掉，从而使系统稳定，故引入低通滤波器。假设该滤波器传递函数为

该滤波器的转折频率为20$Hz$，对如下系统

当干扰信号频率低于20$Hz$，设为10$Hz$，输出曲线如下

左图为带滤波器的输出响应，右图不带滤波器，可以看出此时两个系统输出很不稳定，波动都很大，再看看干扰信号频率大于20$Hz$时的情况，设为100$Hz$,输出曲线如下

很明显，此时带有滤波器的系统输出相比于之前10$Hz$干扰信号时的输出波动幅度要小很多，此时不带滤波器的系统输出已经受到剧烈干扰，带有滤波器的系统输出波动幅度更小。在加大干扰信号的频率，设为10$kHz$，输出曲线如下

此时带有滤波器的系统输出几乎已经没有了波动。
  在编程中使用带滤波器的$PID$算法时，需要对滤波器的传递函数进行$Z$变换并离散化，其公式为

——$a$表示滤波系数，取值$（0,1）$之间
——$Y(n)$表示滤波后的输出值
——$X(n)$表示滤波前的输入值
——$Y(n-1)$表示上一次滤波的输出值
一阶低通滤波器的系统框图如下

由此可得

接着开始$Z$变换并离散化，令

故而

基于前馈补偿的PID算法

  对于设定值变化的系统中，为提高系统的跟踪性能，需要加入前馈补偿。既然是提高系统的跟踪性能，那自然就是系统的输出越接近于甚至等于系统的输入，也就是闭环系统的传递函数为$1$。如下图所示


  假设有一个被控对象为

不加前馈补偿，如下

系统输入为$w=2,A=3$的正弦信号，我们将$pid$调节到一个没有超调量的合适参数，输出图像如下

  黄线表示系统输入的信号曲线，蓝线表示系统输出曲线，可以看出，输出曲线不仅幅值较系统输入小，且滞后于系统输入，我们在将$pid$适当调节，增大超调减小调节时间，系统相应如下

此时的输出幅值已经很接近系统的输入了，但仍存在误差和滞后，再来看看在现在的$pid$参数下加入前馈补偿的效果，系统框图如下

输出曲线如下

在响应$0.1s$内已基本重合，在放大看看

可以看出误差已经非常小，可以忽略不计了，所以加入前馈补偿可以很好地改善系统的跟踪性能。在编程中，使用前馈补偿的$PID$算法，在计算u_f时，可对$1/G(s)$进行$Z$变换并离散化。