线性代数 --- 矩阵求逆的4种方法
矩阵求逆的4种方法
线性代数 --- 矩阵求逆的4种方法
写在最前面：
在大多数情况下，我们学习线性代数的目的是求解线性方程组Ax=b，而我在跟很多同事聊天的过程中发现，他们对于解方程的第一反应大都是求逆。实际上，求解线性方程组的方法有很多，包括求逆，假设矩阵A可逆，则有：
在这些众多的方法中，我个人认为LU分解应该成为最先被采纳的方案，而非求逆，因为求逆会引入较大的精度误差。LU分解的整个计算流程大致如下，其中L和U分别是标准的下三角矩阵和标准上三角矩阵：
令，Ux=y：
求解Ly=b，通过正向回代求得y。然后通过反向求带求解Ux=y，得到x:
感兴趣的朋友可以看看下面链接中的这篇文章(这是我个人非常喜欢的一位台湾的线代老师，在他的个人网站里面有很多关于现代的学习资源)：
以下截图中的这段话就出自上面这篇文章：
以下是本文的正文部分：
1，待定系数法
2，高斯消元法
已知矩阵A和对应维度的单位矩阵I，先写出增广矩阵A|I，然后对A进行高斯消元，在对A消元的同时，单位矩阵I也在变，直到把A消成单位矩阵，A旁边的单位矩阵也会随之变成A的逆矩阵。
Matlab的计算结果：
3，用LU分解求矩阵的逆
跟我们平时用LU分解的结果来解方程不同的是，以往，我们面对的是Ax=b（x和b都是和A同维度的列向量），当我们已经求得了A的LU分解以后，我们会按照先求Ly=b,得到y，再求Ux=y的步骤，得到最终的x。如果，我们使用的是PA=LU的分解，则是先求Ly=Pb,再求Ux=y。而这里，我们面对的是AX=I（X和I都是和A同维度的矩阵，且X就是A-1）。因此，我这里的做法是把单位矩阵中的每一列，都看成是Ax=b中的一个b，同时，也把“未知矩阵”A-1中的每一列看成是Ax=b中的x。
实际上，我的这个做法也是符合矩阵与矩阵的乘法的意义的，例如AB=C,则，C中的每一列，实际上都是B中的对应列，对A中所有列的线性组合的结果。B的对应列中的每一个元素就是线性组合的权重。
MATLAB的计算结果：
4，伴随矩阵+代数余子式
上面的四个矩阵求逆例子，大多是针对2x2矩阵而言的，下面补充一些3x3矩阵上应用。
补充1：伴随矩阵法在3x3矩阵上的应用
MATLAB的计算结果：
补充2：伴随矩阵法
MATLAB的计算结果：
补充3：其他网站上关于伴随矩阵法的说明
相关文章：
（全文完）
作者 --- 松下J27
本文于2022年5月26日晚，对LU分解的笔记部分增加了文字补充。
本文于2022年11月08日，增加了MATLAB的计算结果，便于大家参考。大家也可以在matlab中用他的自带求逆函数inv()对自己的计算结果加以验证。
本文于2022年11月28日，增加了拓展阅读的链接。
本文于2023年4月10号，利用上班的空暇时间，对本文开始处的第4种求逆的方法代数余子式的插图进行了更换。
修改了文中的一个错误，2023/05/18。
对文中容易引起部分读者不适的内容进行了修改。2024/04/11 晚
对文中“写在最前面”中的部分内容进行了修改和重新排版。 2024/04/12
人生格言：
忠于自己的内心，比不负众望更重要！
参考文献（鸣谢）：
用余子式、代数余子式和伴随来求逆矩阵
https://www.shuxuele.com/algebra/matrix-inverse-minors-cofactors-adjugate.html
（配图与本文无关）
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