一、前言

我们介绍一个非常有用的函数：sigmoid函数，它们在机器学习中经常用到。尤其是在神经网络中，经常用于作为隐藏层神经元的输出函数。

二、sigmoid函数

sigmoid函数也叫Logistic函数，它可以将一个实数映射到(0,1)的区间。
函数表示如下：$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
当$x=0$时，$f(x)=0.5$

其导数为$$f^{\prime }(x)=f(x)(1-f(x))$$
证明如下：
$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}=(1+e^{-x}{)}^{-1}$$

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =-(1+e^{-x}{)}^{-2}{e}^{-x}(-1)\\ & =\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}\\ & =\frac{1+e^{-x}-1}{(1+e^{-x}{)}^2}\\ & =\frac{1}{1+e^{-x}}-\frac{1}{(1+e^{-x}{)}^2}\\ & =(\frac{1}{1+e^{-x}})(1-\frac{1}{1+e^{-x}})\\ & =f(x)(1-f(x))\end{array}$$

三、代码实现绘图

用matplotlib绘制函数图像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
 
 
def sigmoid(x):
    return 1/(1+np.exp(-x))

x = np.arange(-10, 10, 0.1) #起点，终点，间距
y = sigmoid(x)
plt.plot(x, y)
plt.show()

运行结果：

四、参考资料

《Sigmoid函数求导过程》