梯度（gradient）

什么是梯度

开始这个话题之前，我想先引入梯度算子，写作$▽$ 函数式写作 $grad(x)$，对于二维或者三维来说，就写作$grad(x,y,z)$。你在教科书上能见到它的解析式表达形式，如果对于三维空间来说，就写作

$$grad(x,y,z)=▽f=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$$

其中 $i$ $j$ $k$表示在x, y, z轴上的向量分量，如果不太清楚这个表达形式的同学，可能需要翻看一下自己高中数学关于向量分量描述的相关章节了。

因为这个公式是个偏微分的表达形式，例如对于X轴上，用差分形式进行表达，就是这样的：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{f(x+\Delta x_o,y,z)-f(x,y,z)}{\Delta x_o}$$

因此，分别对于Y轴，Z轴来说，就分别是这样的：

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{f(x,y+\Delta y_o,z)-f(x,y,z)}{\Delta y_o}$$

$$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{f(x,y,z+\Delta z_o)-f(x,y,z)}{\Delta z_o}$$

差分形式

而对于计算机来说，通常我们令$\Delta x_o=\Delta y_o=\Delta z_o=1$，然后常用的一种差分形式就可以表示如下：

$$\frac{\partial f}{\partial x}\approx f(x+1,y,z)-f(x,y,z)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}\approx f(x,y+1,z)-f(x,y,z)$$

$$\frac{\partial f}{\partial z}\approx f(x,y,z+1)-f(x,y,z)$$

所以你也看出来了，所谓的梯度，用大白话讲，就是对于某一点它分别在X轴上、Y轴上以及Z轴上的斜率。

散度（divergence）

你会发现它跟梯度算子很相似，写作$▽\cdot \vec{F}$ 在很多书上它被简写成这样 $▽\cdot F$ 区别在于多了一个点乘符号。

你或许会觉得梯度和散度长得很像，有区别吗？我个人理解其实区别并不大，因为散度的解析式也写成这样的形式：

$$div(F)=▽\cdot F=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$

形式上两者是很相似的，尽管梯度写作：

$$grad(x,y,z)=▽f=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$$

但可以把梯度里的 $f$ 和向量分量做一个映射，变成一个新的向量后，就可以得到这样一个表达式：

$$\vec{F}(x,y,z)=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$$

于是梯度就能转换为散度的表达形式：

$$▽\cdot \vec{F}=\frac{\partial F_i}{\partial i}+\frac{\partial F_j}{\partial j}+\frac{\partial F_k}{\partial k}$$

所以，实际上我们关心的其实只有梯度算子$▽$。

要说这两者最大表示区别，我觉得是在于这两者观察角度的不同。举例来说，梯度是在给定欧式空间坐标后，研究在这空间里类似山脊一侧某一点的坡度的斜率。

而散度，则是在流场中的某一点，放置一个探测器，计算该点的速度、密度、热量的变化率。

如果观察坐标系，可以发现对于梯度来说，其坐标系在外，观察点位于坐标系中任意一个点上。而散度，它的坐标系通常表示为它自身，即以观察点为中心，建立XYZ坐标系。

也就是说，如果你把梯度的观察点设置为欧式空间坐标的原点，那么此刻的梯度和散度就是一回事了。

拉普拉斯算子（Laplace Operator）

在介绍完梯度和散度后，现在来介绍拉普拉斯算子：它写作 $△$ 或者 ${▽}^2$ 解析式写为：

$${▽}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$$

它表示梯度或者散度的变化率，即变化率的变化率。如果举一个经典的变化率的变化率，那无疑就是经典力学的加速度公式

$$v_t=v_o+at$$

使用拉普拉斯算子的重要物理意义，在于假设一个场分别在XYZ分量上的变化都是线性的，那么可以直接使用拉普拉斯算子，直接估测出距离测试点$P_o$ $(\Delta X,\Delta Y,\Delta Z)$的某一点 $P_t$ 上的物理值，例如速度、密度、热量等。估算方式可以简单到如同求解加速度一样。

那么它的差分形式的近似表达式又是什么呢，从1阶差分形式可以知道

$$▽f(x)=f(x+1)-f(x)$$

那么它的二阶形式就表示为：

$${▽}^{2}f(X)=▽f(X+1)-▽f(X)$$

代入一阶差分，于是就可以得到

$${▽}^{2}f(x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)$$

差分形式

所以，对于拉普拉斯算子，它的向前差分形式的各ＸＹＺ上的差分计算方法即为：

$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\approx f(x+2,y,z)-2f(x+1,y,z)+f(x,y,z)$$
$$\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\approx f(x,y+2,z)-2f(x,y+1,z)+f(x,y,z)$$
$$\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\approx f(x,y,z+2)-2f(x,y,z+1)+f(x,y,z)$$

当然，在弄懂这个原理后，你可以自行推导出它的向后差分形式，或者中央差分形式的表达式，这里只做一个引子。