串联谐振电路

• 电路谐振的概念
  • 谐振（resonant）现象是正弦稳态电路的一种特定的工作状态。谐振电路主要是利用它对频率的选择性：有良好的选频特性。
• 典型电路
  • RLC串联谐振
  • RLC并联谐振
• 谐振是一种特殊的工作状态。在RLC电路中，电路工作在谐振频率时，电路端口的电压和电流同相，电路呈纯电阻特性。
  

rLC串联谐振电路

电路模型分析

• RLC串联电路工作在正弦稳态下，由实际电感线圈、电容器串联组成的电路，称为串联谐振电路，R反映损耗的等效电阻。
  
• 串联电路的总阻抗：$$Z=r+j(wL-\frac{1}{wC})=r+jX$$
• 电抗X随频率变化情况如下图：
  
• 可见，当处于Wo时，电路进入谐振的工作状态：$$0<w<w_0,X<0，阻抗呈容性$$ $$w>w_0,X>0，阻抗呈感性$$ $$w=w_0,X=0，阻抗呈纯电阻性$$
• X=0, 电路呈阻性，电压、电流同相，电流有效值最大。串联回路中总电压和总电流同相时，称电路发生了串联谐振。这是频率称为串联谐振频率。$$X=w_{0}L-\frac{1}{w_{0}C}=0$$ $$\dot{I}=\frac{\dot{U_s}}{Z}=\frac{\dot{U_s}}{r+jX}$$
• 可得 $$\dot{I}=\frac{\dot{U_s}}{r}$$
• 此时串联谐振角频率为
  $$w_0=\frac{1}{LC}$$
• 可见：谐振角频率仅仅由电感和电容参数决定，与外部电源无关，也就是说在一个电路中，谐振角频率是确定的。

参数分析

• 谐振角频率、频率 $$w_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},(rad/s)或f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$
• 特性阻抗（即发生谐振时，电感感抗或者电容容抗值）$$\rho =w_{0}L=\frac{1}{w_{0}C}=\sqrt{\frac{L}{C}}(\Omega )$$
• 品质因数（特性阻抗与串联电阻r的比值）$$Q=\frac{\rho }{r}=\frac{\sqrt{L/C}}{r}=\frac{w_{0}L}{r}=\frac{1}{w_{0}Cr}$$

相量分析

谐振时特点

• 谐振阻抗：谐振时，总阻抗的模最小，为r。$$Z_0=r+j{X}_0=r+j(w_{0}L-\frac{1}{w_{0}C}=r$$
  
• 谐振电流：谐振时，电流与电源电压同相，电流模值达最大。$$\dot{I_0}=\frac{\dot{U_s}}{Z_0}=\frac{\dot{U_s}}{r}$$
  
• 谐振时，各元件上的电压
  • 电阻电压 = 电源电压$$\dot{U_{r0}}=r\dot{I_0}=r\frac{\dot{U_s}}{r}=\dot{U_s}$$
  • 电感电压模值 = 电容电压模值 = Q*电源电压模值 $$\dot{U_{L0}}=\dot{I_0}j{w}_{0}L=\frac{\dot{U_s}}{r}j{w}_{0}L=j\frac{w_{0}L}{r}\dot{U_s}=jQ\dot{U_s}$$ $$\dot{U_{c0}}=\dot{I_0}\frac{1}{j{w}_{0}C}=\frac{\dot{U_s}}{r}\ast \frac{1}{j{w}_{0}C}=-j\frac{1}{w_{0}Cr}\dot{U_s}=-jQ\dot{U_s}$$

使电路发生谐振的方法

• 调电源频率
• 调整电路参数

rLC串联谐振电路的频率响应

• 以电流I为响应，频率响应为 $$H(jw)=\frac{\dot{I}}{\dot{U_s}}=\frac{1}{r+j(wL-\frac{1}{wC})}=\frac{1/r}{1+j\frac{w_{0}L}{r}(\frac{w}{w_0}-\frac{1}{w_{0}wLC})}=\frac{1}{r}\frac{1}{1+jQ(\frac{w}{w_0}-\frac{w_0}{w})}$$ $$H(jw)=H_0\frac{\frac{w_0}{Q}(jw)}{(jw{)}^2+\frac{w_0}{Q}(jw)+w_0^2}$$ $$H_0=\frac{1}{r}$$ $$w_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

• 可见rLC串联谐振电路是一个带通电路

• 幅频响应曲线
  

• 由图可知Q值越大，曲线越尖锐，通频带越窄，选频特性越好。当W=Wo时，电路发生了谐振，幅频特性处于最大值。

通频带

• 通频带 $$B=\frac{w_0}{Q}(rad/s)$$
• 谐振电路对频率具有选择性，其Q值越高，电路的选择性越好，但带宽则越窄。
• 实际中，Q值一般可达几十或几百，谐振时电感电容上的电压可达激励电压的几十或几百倍。所以串联谐振又称为电压谐振。
• 串联谐振时电容电感短路。

基于Multisim的RLC串联谐振电路的仿真

• 电路搭建
  
• 电路是否处于谐振状态判断方法
  • 用万用表交流档测量输入输出电压，越靠近谐振频率，两个电压值越接近。
  • 李萨如图形法，将示波器如图所示接好，设置B/A工作模式
    
    • 电路谐振时，可以看到一斜直线。由于频率没有取到计算的那么精确，图中类似扁椭圆。
• 幅频测试
  • 利用波特图仪，如图所示，约为1.6KHz时输出电压最大，与计算相符合。
    
  • 利用“simulate”里面的“Analy sis”进行交流分析。
    

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