在检测任务中，使用交并比（Intersection of Union，IoU）作为衡量指标,来描述两个框之间的重合度。这一概念来源于数学中的集合，用来描述两个集合$A$和$B$之间的关系，它等于两个集合的交集里面所包含的元素个数，除以它们的并集里面所包含的元素个数，具体计算公式如下：

$$IoU=\frac{A\cap B}{A\cup B}$$

两个框可以看成是两个像素的集合，它们的交并比等于两个框重合部分的面积除以它们合并起来的面积。
图“交集”中青色区域是两个框的重合面积，
图“并集”中蓝色区域是两个框的相并面积。
用这两个面积相除即可得到它们之间的交并比，如 图1 所示。

图1：交并比


图2：交并比公式

假设两个矩形框A和B的位置分别为：
$$A:[x_{a1},y_{a1},x_{a2},y_{a2}]$$

$$B:[x_{b1},y_{b1},x_{b2},y_{b2}]$$

假如位置关系如 图3 所示：

图3：计算交并比

如果二者有相交部分，则相交部分左上角坐标为：
$$x_1=max(x_{a1},x_{b1}),y_1=max(y_{a1},y_{b1})$$

相交部分右下角坐标为：
$$x_2=min(x_{a2},x_{b2}),y_2=min(y_{a2},y_{b2})$$

计算先交部分面积：
$$intersection=max(x_2-x_1+1.0,0)\cdot max(y_2-y_1+1.0,0)$$

矩形框A和B的面积分别是：
$$S_A=(x_{a2}-x_{a1}+1.0)\cdot (y_{a2}-y_{a1}+1.0)$$

$$S_B=(x_{b2}-x_{b1}+1.0)\cdot (y_{b2}-y_{b1}+1.0)$$

计算相并部分面积：
$$union=S_A+S_B-intersection$$

计算交并比：

$$IoU=\frac{intersection}{union}$$

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交并比计算程序如下：

# 计算IoU，矩形框的坐标形式为xyxy，这个函数会被保存在box_utils.py文件中
def box_iou_xyxy(box1, box2):
    # 获取box1左上角和右下角的坐标
    x1min, y1min, x1max, y1max = box1[0], box1[1], box1[2], box1[3]
    # 计算box1的面积
    s1 = (y1max - y1min + 1.) * (x1max - x1min + 1.)
    # 获取box2左上角和右下角的坐标
    x2min, y2min, x2max, y2max = box2[0], box2[1], box2[2], box2[3]
    # 计算box2的面积
    s2 = (y2max - y2min + 1.) * (x2max - x2min + 1.)
    
    # 计算相交矩形框的坐标
    xmin = np.maximum(x1min, x2min)
    ymin = np.maximum(y1min, y2min)
    xmax = np.minimum(x1max, x2max)
    ymax = np.minimum(y1max, y2max)
    # 计算相交矩形行的高度、宽度、面积
    inter_h = np.maximum(ymax - ymin + 1., 0.)
    inter_w = np.maximum(xmax - xmin + 1., 0.)
    intersection = inter_h * inter_w
    # 计算相并面积
    union = s1 + s2 - intersection
    # 计算交并比
    iou = intersection / union
    return iou


bbox1 = [100., 100., 200., 200.]
bbox2 = [120., 120., 220., 220.]
iou = box_iou_xyxy(bbox1, bbox2)
print('IoU is {}'.format(iou))  

# 计算IoU，矩形框的坐标形式为xywh
def box_iou_xywh(box1, box2):
    x1min, y1min = box1[0] - box1[2]/2.0, box1[1] - box1[3]/2.0
    x1max, y1max = box1[0] + box1[2]/2.0, box1[1] + box1[3]/2.0
    s1 = box1[2] * box1[3]

    x2min, y2min = box2[0] - box2[2]/2.0, box2[1] - box2[3]/2.0
    x2max, y2max = box2[0] + box2[2]/2.0, box2[1] + box2[3]/2.0
    s2 = box2[2] * box2[3]

    xmin = np.maximum(x1min, x2min)
    ymin = np.maximum(y1min, y2min)
    xmax = np.minimum(x1max, x2max)
    ymax = np.minimum(y1max, y2max)
    inter_h = np.maximum(ymax - ymin, 0.)
    inter_w = np.maximum(xmax - xmin, 0.)
    intersection = inter_h * inter_w

    union = s1 + s2 - intersection
    iou = intersection / union
    return iou

bbox1 = [100., 100., 200., 200.]
bbox2 = [120., 120., 220., 220.]
iou = box_iou_xywh(bbox1, bbox2)
print('IoU is {}'.format(iou))  

为了直观的展示交并比的大小跟重合程度之间的关系，图4 示意了不同交并比下两个框之间的相对位置关系，从 IoU = 0.95 到 IoU = 0.

图4：不同交并比下两个框之间相对位置示意图

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参考文章

目标检测基础介绍
理解IOU、precision、recall、AP、mAP的含义
IOU计算