荷兰数学家 E.W.Dijkstra 于 1959 年提出了 Dijkstra 算法，它是一种适用于 非负权值 网络的 单源最短路径算法，同时也是目前求解最短路径问题的理论上最完备、应用最广的经典算法。它可以给出从指定节点到图中其他节点的最短路径，以及任意两点的最短路径。

Dijkstra 算法是一种基于 贪心策略 的最短路径算法，该种算法的原理是按照路径长度逐点增长的方法构造一棵路径树，从而得出从该树的根节点（即指定节点）到其他所有节点的最短路径。

Dijkstra 算法的 核心思想 是：设置两个点的集合 S 和 T。集合 S 中存放已找到最短路径的节点，集合 T 中存放当前还未找到最短路径的节点。

具体实现过程如下图所示：

下面将用一个示例来讲述算法的原理过程。

如图所示，一个有向权值图，利用 Dijkstra算法 找到从 节点1 到 节点 6 的最短路径。

1. 首先进行初始化，初始化一个空的 open list、close list 以及 parent。将起点及其距离信息放入到 open list 中，将起点及其父亲节点放入 parent 中，由于其是起点，所以设置其父节点为 None。

   open list 中存放那些已经访问的从该节点到起点有路径的结点（有路径但不一定是最优路径）。

   close list 中存放那些已经找到最优路径的结点。

   parent 存放结点的父子关系，方便后面路径回溯。

   注意： 其实 open list 中应该存放所有未找到最短路径的结点，存放时由于要设置其距起点的距离，初始化时通常设置为+Inf.后面逐个访问结点时到再更新其相应的距离值。其实和现在的做法是一样的，将 open list 初始化为 空，逐个访问到结点时再往里添加或者更新。两者皆可。

   

2. 按步骤执行。

   • close list 中新加入的结点为 1(0), 遍历其邻接结点 2 、4，两结点均未在 close list 中，所以计算其距离（即到起点的距离）如下图所示，并将其添加如 open list 中。将结点 2 、4的继承关系即 {2: 1，4: 1}添加进 parent 中。
   • 从 open list 中 找到距离最小的结点，即 4(1),并添加到 close list 中。

   

3. 按步骤执行。

   • close list 中新加入的结点为 4(1), 遍历其邻接结点 3、 6、 7、 5，四个结点均未在 close list 中，所以计算其距离（即到起点的距离），如下图所示。并将其添加如 open list 中。将结点 3、 6、 7、 5的继承关系即 {3: 4, 6: 4, 7: 4，5: 4}添加进 parent 中。
   • 从 open list 中 找到距离最小的结点，即 2(2),并添加到 close list 中。

   

4. 按步骤执行。

   • close list 中新加入的结点为 2(2), 遍历其邻接结点 4、 5，由于结点 4 已经在 close list 中，所以只需计算 结点5的距离，如下图所示，由于计算的新的距离为13，大于open list 中结点 5 原来的距离 3，所以不进行更新。同时也不更新 parent 中结点 5 的继承关系
   • 从 open list 中 找到距离最小的结点，此时有两个距离最小的结点，3(3) 和 5(3), 任选其一即可，在此选 3(3), 并添加到 close list 中。

   

5. 按步骤执行。

   • close list 中新加入的结点为 3(3), 遍历其邻接结点 1、 6，由于结点 1 已经在 close list，所以不用考虑，只需计算 结点 6 的距离，如下图所示，计算后得到的距离为 8， 小于 open list 中结点6 原来的距离 9，所以更新 open list 中结点 6 的距离为 8. 同时更新 parent 中结点 6 的继承关系为 {6： 3}
   • 从 open list 中 找到距离最小的结点，即 5(3),并添加到 close list 中。

   

6. 按步骤执行。

   • close list 中新加入的结点为 5(3), 遍历其邻接结点 7，结点 7 未在close list 中，计算其距离，如下图所示，计算后的距离为 9，大于 open list 中 结点 7 的距离 5，所以不进行更新。同时也不更新 parent 中结点 7 的继承关系。
   • 从 open list 中 找到距离最小的结点，即 7(5),并添加到 close list 中。

   

7. 按步骤执行。

   • close list 中新加入的结点为 7(5), 遍历其邻接结点 6. 结点 6 未在 close list 中，所以计算其距离，如下图所示。计算后的距离为 6，小于 open list 中 结点 6 的距离 8，所以将 open list 中结点 6 的距离更新为 6.同时更新 parent 中结点 6 的继承关系为 {6:7}
   • 从 open list 中 找到距离最小的结点，即 6(6),并添加到 close list 中。
   • 至此，找到终点。

   

8. 路径回溯。

   根据 parent 中的继承关系，从终点向起点回溯，得到从起点 1 到 终点 6 的最短路径为：1 => 4 => 7 => 6, 最短路径长为：6.

总结上述流程，可以得到以下算法代码框架：

Python 代码实现

class Dijkstra:
    def __init__(self, graph, start, goal):
        self.graph = graph      # 邻接表
        self.start = start      # 起点
        self.goal = goal        # 终点

        self.open_list = {}     # open 表
        self.closed_list = {}   # closed 表

        self.open_list[start] = 0.0     # 将起点放入 open_list 中

        self.parent = {start: None}     # 存储节点的父子关系。键为子节点，值为父节点。方便做最后路径的回溯
        self.min_dis = None             # 最短路径的长度

    def shortest_path(self):

        while True:
            if self.open_list is None:
                print('搜索失败， 结束！')
                break
            distance, min_node = min(zip(self.open_list.values(), self.open_list.keys()))      # 取出距离最小的节点
            self.open_list.pop(min_node)                                                       # 将其从 open_list 中去除

            self.closed_list[min_node] = distance                  # 将节点加入 closed_list 中

            if min_node == self.goal:                              # 如果节点为终点
                self.min_dis = distance
                shortest_path = [self.goal]                        # 记录从终点回溯的路径
                father_node = self.parent[self.goal]
                while father_node != self.start:
                    shortest_path.append(father_node)
                    father_node = self.parent[father_node]
                shortest_path.append(self.start)
                print(shortest_path[::-1])                         # 逆序
                print('最短路径的长度为：{}'.format(self.min_dis))
                print('找到最短路径， 结束！')
                return shortest_path[::-1], self.min_dis			# 返回最短路径和最短路径长度

            for node in self.graph[min_node].keys():               # 遍历当前节点的邻接节点
                if node not in self.closed_list.keys():            # 邻接节点不在 closed_list 中
                    if node in self.open_list.keys():              # 如果节点在 open_list 中
                        if self.graph[min_node][node] + distance < self.open_list[node]:
                            self.open_list[node] = distance + self.graph[min_node][node]         # 更新节点的值
                            self.parent[node] = min_node           # 更新继承关系
                    else:                                          # 如果节点不在 open_list 中
                        self.open_list[node] = distance + self.graph[min_node][node]             # 计算节点的值，并加入 open_list 中
                        self.parent[node] = min_node               # 更新继承关系


if __name__ == '__main__':
    g = {'1': {'2': 2, '4': 1},
         '2': {'4': 3, '5': 11},
         '3': {'1': 4, '6': 5},
         '4': {'3': 2, '6': 8, '7': 4, '5': 2},
         '5': {'7': 6},
         '7': {'6': 1}
         }
    start = '1'
    goal = '6'
    dijk = Dijkstra(g, start, goal)
    dijk.shortest_path()

运行结果：

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