1. 正定矩阵的定义

广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z^TMz>0，则称M为正定矩阵；

狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z^TMz>0。

2. 正定矩阵的性质

正定矩阵的行列式恒为正：|A|>0

实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同

若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵

两个正定矩阵的和也是正定矩阵

正实数与正定矩阵的乘积也是正定矩阵

3. 正定矩阵的等价命题

对于n阶实对称矩阵A，下列等式是等价的：

A是正定矩阵

A的一切顺序主子式均为正

A的一切主子式均为正

A的特征值均为正

存在实可逆矩阵C，使得A=C^TC

存在秩为n的m\times n实矩阵B，使得A=B^TB

存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使得A=R^TR

 

ps：

矩阵合同的定义

设A,B是两个n阶的方阵，若存在可逆矩阵C，使得：

C^TAC=B

则称方阵A与方阵B合同，记作：A\simeq B

 

矩阵的顺序主子式：

M=\begin{bmatrix} 6 & -3 & 1\\ -3 &2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}

对称矩阵M的三个顺序主子式依次为：

|6|=6>0

\begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}=3>0

\begin{bmatrix} 6 & -3 & 1 \\ -3& 2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}=10>0

因此矩阵M是正定的

推荐内容
阅读全文
AI总结
# 线性代数
Logo
GitCode 开源社区

旨在为数千万中国开发者提供一个无缝且高效的云端环境，以支持学习、使用和贡献开源项目。

更多推荐

cover

颠覆开发效率！国内首个开源微服务编排框架Juggle入驻GitCode

avatar GitCode 开源社区
cover

“盲水印”技术新标杆：blind_watermark加入GitCode

avatar GitCode 开源社区
cover

开源平台GitCode招人啦，大量好岗！

avatar GitCode 开源社区