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差分方程的建立及经典解法

1 离散系统的解析描述–建立差分方程

1.1 差分的定义

移位序列：设有序列$f(k)$, 则… , $f(k+2),f(k+1),f(k-1)，f(k-2)$，… 等称为$f(k)$的移位序列。

差分运算：

一阶前向差分定义：

一阶后向差分定义：

我们主要用后向差分，简称为差分。

差分的线性性质：

二阶差分定义：

$m$阶差分：

1.2 差分方程

差分方程：由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。

差分方程的一般形式：

方程的阶数：未知变量最高序号与最低序号的差。

由$n$阶差分方程描述的系统称为$n$阶系统。

描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程。

2 差分方程的模拟框图

2.1 基本部件单元

2.2 由框图建立差分方程

3 差分方程的经典解法

3.1 递推迭代

差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。

3.2 经典法

与连续系统的微分方程经典解类似，差分方程的解由齐次解$y_h(k)$和特解$y_p(k)$两部分组成，即

3.3 齐次解的常用函数形式

3.4 特解的常用函数形式

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代入初值$y(0)$

4 零输入响应的定义和求解

4.1 零输入响应的定义

零输入响应：离散系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，用$y_{zi}(k)$表示。

4.2 初始值的确定

用$y(-1)，y(-2)，\dots ，y(-n)$ 描述n阶系统的初始状态。(连续系统是给你各阶导数)

零状态响应：状态为零时输入产生的响应，加上$-l<0$还没有输入，故$y_{zs}(-l)=0$

4.3 求解步骤

(1)求特征方程的特征根;
(2)设定齐次解；
(3)直接代入初始状态 $y_{zi}(-l),l=0,1,\dots n-1$, 求待定系数。

5 零状态响应的定义和求解

5.1 零状态响应的定义和求解

零状态响应：系统的初始状态$y_{zs}(-l)=0,l=1,2,\dots n$，为零，仅由激励 $f(k)$引起的响应，用$y_{zs}(k)$表示。

5.2 初始值的确定

由迭代法求出初始值$y_{zs}(j)，j=0,1,\dots n-1$

5.3 求解步骤

(1)设定齐次解；
(2)设定特解，代入方程求解；
(3)代入初始值，求待定系数。

$t>0$时$\epsilon (t)=1$，激励可以看作$k^0$，查表的特解为一个常数$P$,且$P(k-1)=P$，$P(k-2)=P$，故有$6P=1$

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
国家精品课程：信号与系统 ，中国大学MOOC，郭宝龙，朱娟娟