线性代数学习笔记(二十七)——线性方程组有解判定
本篇笔记首先讨论如何将线性方程组写成矩阵或向量形式,并给出系数矩阵和增广系数矩阵的概念;然后通过判断系数矩阵的秩和增广系数矩阵的秩的关系,讨论方程组有唯一解、有无穷多解还是无解的条件并给出了相关判定;最后总结了通过系数矩阵求解线性方程组的步骤,并通过例子进行了实践。
本篇笔记首先讨论如何将线性方程组写成矩阵或向量形式,并给出系数矩阵和增广矩阵的概念;然后通过判断系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系,讨论方程组有唯一解、有无穷多解还是无解的条件并给出了相关判定;最后总结了通过系数矩阵求解线性方程组的步骤,并通过例子进行了实践。
1 系数矩阵和增广矩阵
假如有如下方程组:
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
1
x
1
−
x
2
−
x
3
=
−
3
2
x
1
+
9
x
2
+
10
x
3
=
11
\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1-x_2-x_3=-3\\2x_1+9x_2+10x_3=11\end{cases}
⎩
⎨
⎧x1+x2+x3=1x1−x2−x3=−32x1+9x2+10x3=11,
但这样写太复杂了!所以引入了以下概念:
系数矩阵:将上述方程组的未知数系数写成矩阵,
A
=
[
1
1
1
1
−
1
−
1
2
9
10
]
A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&-1\\2&9&10\end{bmatrix}
A=
1121−191−110
,
增广矩阵:将方程组未知数系统和常数项写成矩阵,
A
‾
=
[
1
1
1
1
1
−
1
−
1
−
3
2
9
10
11
]
\overline{A}=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\1&-1&-1&-3\\2&9&10&11\end{array}\right]
A=
1121−191−1101−311
,
也可以写成向量形式,
x
1
(
1
1
2
)
+
x
2
(
1
−
1
9
)
+
x
3
(
1
−
1
10
)
=
(
1
−
3
11
)
x_1\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\-1\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\11\end{pmatrix}
x1
112
+x2
1−19
+x3
1−110
=
1−311
,即
x
1
α
1
+
x
2
α
2
+
x
3
α
3
=
β
x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=\beta
x1α1+x2α2+x3α3=β,
注意:
在写方程时,系数写在前面,未知数写在后面;
但写向量时,一般未知数写在前前,而向量写在后面。
2 方程组有无解的判定
前面已经知道,用消元法解方程组,其实相当于对矩阵做初等行变换。
① 假设化成了如下矩阵:
[
1
0
0
1
0
1
0
2
0
0
1
3
]
\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right]
100010001123
,
所以, { x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 3 \begin{cases}x_1=1\\x_2=2\\x_3=3\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1=1x2=2x3=3,即有唯一解,
很显明: r ( A ) = r ( A ‾ ) = 3 (未知量个数) r(A)=r(\overline{A})=3(未知量个数) r(A)=r(A)=3(未知量个数)。
② 假设化成了如下矩阵:
[
1
0
1
5
0
1
1
9
0
0
0
0
]
\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&5\\0&1&1&9\\0&0&0&0\end{array}\right]
100010110590
,
所以,
{
x
1
=
5
−
x
3
x
2
=
9
−
x
3
\begin{cases}x_1=5-x_3\\x_2=9-x_3\end{cases}
{x1=5−x3x2=9−x3,
此时,当
x
3
x_3
x3取不同的值时,得到不同的
x
1
x_1
x1和
x
2
x_2
x2,即有无穷多解,
这种情况下, r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 < 3 (未知量个数) r(A)=r(\overline{A})=2<3(未知量个数) r(A)=r(A)=2<3(未知量个数)。
③ 假设化成了如下矩阵:
[
1
0
1
3
0
1
0
4
0
0
0
1
]
\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&3\\0&1&0&4\\0&0&0&1\end{array}\right]
100010100341
,
对应方程组为:
{
x
1
x
3
=
3
x
2
=
4
0
=
1
\begin{cases}x_1&&&&x_3&=&3\\&&x_2&&&=&4\\&&&&\color{red}{0}&=&1\end{cases}
⎩
⎨
⎧x1x2x30===341,
所以方程组无解,
此时, r ( A ) = 2 ≠ r ( A ‾ ) = 3 r(A)=2\quad{\neq}{\quad}r(\overline{A})=3 r(A)=2=r(A)=3。
上述求秩用到以下两个结论:
1)初等变换不改变矩阵的秩;
2)阶梯型矩阵的秩等于非零行的行数。
不难看出,方程组有解分两种情况,即有唯一解和有无穷多解,
① 当
r
(
A
)
=
r
(
A
‾
)
r(A)=r(\overline{A})
r(A)=r(A)时,方程组有解;
r
(
A
)
=
r
(
A
‾
)
=
n
r(A)=r(\overline{A})=n
r(A)=r(A)=n,有唯一解,
r
(
A
)
=
r
(
A
‾
)
<
n
r(A)=r(\overline{A})<n
r(A)=r(A)<n,有无穷多解。
② 当 r ( A ) ≠ r ( A ‾ ) r(A)\quad{\neq}{\quad}r(\overline{A}) r(A)=r(A)时,方程组无解。
3 使用系数矩阵解方程组的步骤
在本章中有两个符号比较重要,即
m
m
m和
n
n
n,
m
m
m表示方程的个数,
n
n
n表示未知量的个数,
例如,
{
x
1
+
x
2
−
x
3
=
5
x
1
−
x
2
+
x
3
=
7
\begin{cases}x_1+x_2-x_3=5\\x_1-x_2+x_3=7\end{cases}
{x1+x2−x3=5x1−x2+x3=7,
则:
m
=
2
,
n
=
3
m=2,n=3
m=2,n=3。
解题步骤:
① 写出增广矩阵
A
‾
\overline{A}
A;
② 只做初等行变换化为阶梯型;
③ 看
r
(
A
)
r(A)
r(A)和
r
(
A
‾
)
r(\overline{A})
r(A)是否相等;
阶梯型矩阵中,竖线左边非零行的行数
?
=
?=
?=带竖线右边非零行的行数。
若相等且等于未知量个数,有唯一解;
若相等且小于未知量个数,有无穷多解;
若不相等,则无解。
④ 化为行简化阶梯型矩阵。
例如化为以下矩阵:
[
1
0
3
4
5
0
1
1
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
]
\left[\begin{array}{cccc|c}1&0&3&4&5\\0&1&1&1&2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right]
10000100310041005200
,
⑤ 写出一般解
首先不用管零行,把非零行的首非零元
1
1
1留在左边,常数项留在右边;
对于第一行的第一个元素
1
1
1对应该
x
1
x_1
x1,其余列元素移到右边;
同理,对于第二列第二个元素
1
1
1对应
x
2
x_2
x2,其余元素移动右边。
即该方程组的一般解为:
{
x
1
=
5
−
3
x
3
−
4
x
4
x
2
=
2
−
x
3
−
x
4
\begin{cases}x_1=5-3x_3-4x_4\\x_2=2-x_3-x_4\end{cases}
{x1=5−3x3−4x4x2=2−x3−x4,
注意:移到右边记得变号。
4 求解方程组举例
例1:
1)
A
‾
⟶
⋯
⟶
[
1
−
1
2
−
1
3
0
0
−
5
2
−
6
0
0
0
0
4
]
\overline{A}\longrightarrow\cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{cccc|c}1&-1&2&-1&3\\0&0&-5&2&-6\\0&0&0&0&4\end{array}\right]
A⟶⋯⟶
100−1002−50−1203−64
,
因为 r ( A ) = 2 ≠ r ( A ‾ ) = 3 r(A)=2\quad{\color{red}{\neq}}{\quad}r(\overline{A})=3 r(A)=2=r(A)=3,故无解。
2) A ‾ ⟶ ⋯ ⟶ [ 1 3 − 7 − 8 0 1 − 5 − 7 0 0 1 1 0 0 0 0 ] \overline{A}\longrightarrow\cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&3&-7&-8\\0&1&-5&-7\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{array}\right] A⟶⋯⟶ 10003100−7−510−8−710 ,
因为, r ( A ) = r ( A ‾ ) = 3 (未知量个数) r(A)=r(\overline{A})=3(未知量个数) r(A)=r(A)=3(未知量个数),故有唯一解,
继续化为行简化阶梯型矩阵,
⋯
⟶
[
1
0
0
5
0
1
0
−
2
0
0
1
1
0
0
0
0
]
\cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&5\\0&1&0&{\color{purple}{-}}2\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{array}\right]
⋯⟶
1000010000105−210
,
所以, { x 1 = 5 x 2 = 2 x 3 = 1 \begin{cases}x_1=5\\x_2=2\\x_3=1\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1=5x2=2x3=1,
注意:上述方程只有三个未知量,别写出 x 4 x_4 x4来了!
例2:
A
‾
→
只做初等行变换化为阶梯型
[
1
2
3
1
2
0
3
7
−
1
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
]
\overline{A}\xrightarrow[]{只做初等行变换化为阶梯型}\left[\begin{array}{cccc|c}1&2&3&1&2\\0&3&7&-1&3\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right]
A只做初等行变换化为阶梯型
1000230037001−1002300
,
很明显, r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 < 4 (未知量个数) r(A)=r(\overline{A})=2<4(未知量个数) r(A)=r(A)=2<4(未知量个数),故有无穷多解,
→ 继续化为行简化阶梯型 [ 1 0 − 5 3 5 3 0 0 1 7 3 − 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] \xrightarrow[]{继续化为行简化阶梯型}\left[\begin{array}{cccc|c}1&0&-\frac{5}{3}&\frac{5}{\color{purple}{3}}&0\\0&1&\frac{7}{3}&-\frac{1}{3}&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right] 继续化为行简化阶梯型 10000100−35370035−31000100 ,
所以, { x 1 = 5 3 x 3 − 5 3 x 4 x 2 = 1 − 7 3 x 3 + 1 3 x 4 \begin{cases}x_1=\frac{5}{3}x_3-\frac{5}{3}x_4\\x_2=1-\frac{7}{3}x_3+\frac{1}{3}x_4\end{cases} {x1=35x3−35x4x2=1−37x3+31x4,其中 x 3 , x 4 x_3,x_4 x3,x4为自由未知量。
上述解称为一般解,后续还要写出基础解系。该解的方程组称为同解方程组。
使用判断阶梯型矩阵时所用的划折线法判断方程组有无解:若经过竖线时拐弯,则无解,若穿过竖线,则有解。
有时方程组会感觉比较“别扭”,例如:
写出
[
1
0
0
3
4
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
]
\left[\begin{array}{cccc|c}1&0&0&3&4\\0&1&0&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right]
10000100000031004100
的同解方程组。
解:
r
(
A
)
=
r
(
A
‾
)
=
2
<
4
(未知量个数)
r(A)=r(\overline{A})=2<4(未知量个数)
r(A)=r(A)=2<4(未知量个数),故有无穷多解,
所以,
{
x
1
=
4
−
3
x
4
x
2
=
1
−
x
4
\begin{cases}x_1=4-3x_4\\x_2=1-x_4\end{cases}
{x1=4−3x4x2=1−x4
x 3 x_3 x3在哪里? x 3 x_3 x3是否是自由未知量? x 3 x_3 x3发生了什么?
其实上述方程组可以写成:
{
x
1
=
4
+
0
x
3
−
3
x
4
x
2
=
1
+
0
x
3
−
x
4
\begin{cases}x_1=4+{\color{red}{0x_3}}-3x_4\\x_2=1+{\color{red}{0x_3}}-x_4\end{cases}
{x1=4+0x3−3x4x2=1+0x3−x4,
所以 x 3 , x 4 x_3,x_4 x3,x4都是自由未知量。
★★★
\color{red}{★★★}
★★★ 例3:当
λ
\lambda
λ取何值时,线性方程组
{
(
1
+
λ
)
x
1
+
x
2
+
x
3
=
0
x
1
+
(
1
+
λ
)
x
2
+
x
3
=
3
x
1
+
x
2
+
(
1
+
λ
)
x
3
=
λ
\begin{cases}(1+\lambda)x_1+x_2+x_3=0\\x_1+(1+\lambda)x_2+x_3=3\\x_1+x_2+(1+\lambda)x_3=\lambda\end{cases}
⎩
⎨
⎧(1+λ)x1+x2+x3=0x1+(1+λ)x2+x3=3x1+x2+(1+λ)x3=λ,
有解?并求其解。
分析:该类带参数的方程组比较重要!
在化为阶梯型或行简化阶梯型矩阵时,未讨论
λ
\lambda
λ是否为
0
0
0前,
一定不能放在分母上!
解: A ‾ = [ 1 + λ 1 1 0 1 1 + λ 1 3 1 1 1 + λ λ ] \overline{A}=\left[\begin{array}{ccc|c}1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3\\1&1&1+\lambda&\lambda\end{array}\right] A= 1+λ1111+λ1111+λ03λ ,
⋯ ⟶ [ 1 1 1 + λ λ 0 λ − λ 3 − λ 0 0 − λ ( 3 + λ ) ( 1 − λ ) ( 3 + λ ) ] \cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1+\lambda&\lambda\\0&\lambda&-\lambda&3-\lambda\\0&0&-\lambda(3+\lambda)&(1-\lambda)(3+\lambda)\end{array}\right] ⋯⟶ 1001λ01+λ−λ−λ(3+λ)λ3−λ(1−λ)(3+λ)
1)当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时, r ( A ) = 1 ≠ r ( A ‾ ) = 2 r(A)=1\quad{\neq}{\quad}r(\overline{A})=2 r(A)=1=r(A)=2,这时原方程组无解;
2)当
λ
≠
0
\lambda{\neq}0
λ=0时,且
λ
≠
−
3
\lambda{\neq}-3
λ=−3时,
r
(
A
)
=
r
(
A
‾
)
=
3
r(A)=r(\overline{A})=3
r(A)=r(A)=3,原方程组有唯一解,
继续化为行简化阶梯型,
⋯
⟶
[
1
0
0
−
1
λ
0
1
0
2
λ
0
0
1
λ
−
1
λ
]
\cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-\frac{1}{\lambda}\\0&1&0&\frac{2}{\lambda}\\0&0&1&\frac{\lambda-1}{\lambda}\end{array}\right]
⋯⟶
100010001−λ1λ2λλ−1
,
所以, { x 1 = − 1 λ x 2 = 2 λ x 3 = λ − 1 λ \begin{cases}x_1=-\frac{1}{\lambda}\\x_2=\frac{2}{\lambda}\\x_3=\frac{\lambda-1}{\lambda}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1=−λ1x2=λ2x3=λλ−1,
3)当
λ
=
−
3
\lambda=-3
λ=−3时,
r
(
A
)
=
r
(
A
‾
)
=
2
<
3
r(A)=r(\overline{A})=2<3
r(A)=r(A)=2<3,原方程有无穷多解,
继续化为行简化阶梯型,
⋯
⟶
[
1
0
−
1
−
1
0
1
−
1
−
2
0
0
0
0
]
\cdots\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&-1\\0&1&-1&-2\\0&0&0&0\end{array}\right]
⋯⟶
100010−1−10−1−20
,
所以,方程的一般解为, { x 1 = x 3 − 1 x 2 = x 3 − 2 \begin{cases}x_1=x_3-1\\x_2=x_3-2\end{cases} {x1=x3−1x2=x3−2,其中 x 3 x_3 x3为自由未知量。
例4:略。
例5:带参数的题,也很重要!略。
5 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_4.2 线性方程组有解判定
更多推荐
所有评论(0)