1、根轨迹

前面有讲到通过闭环传递函数的极点分布情况来判断系统是否稳定。当然还有些更简单的判别方式，例如：劳斯稳定性判据、赫尔维茨稳定性判据等。但都是判断系统是否稳定的，那么怎么判断系统的稳定程度（稳定裕度）呢？或者说当一个系统参数在什么范围内系统稳定，取多大时稳定裕度最好。
举个例子：

注意上面的闭环传函为单位负反馈的。那么K的取值是什么范围时该系统稳定呢，当然可以用劳斯判据求出。但K值取多少时最稳定呢，这里就涉及到了根轨迹(系统特征根的轨迹)了。那么我们让K的取值从0到正无穷时，求出闭环传函的特征方程的各个根，这样就形成了根轨迹了。但是这样做要做大量的运算，很复杂耗时。

因此有个工程师发明了一套技巧，不需要每一个具体的K反复求闭环特征根，只需通过开环传递函数Gk(s)的零极点就能得到当开环增益$K\to \infty$ 时，闭环系统的特征根在复平面上的变化轨迹。 这就是常规根轨迹法。

2、根轨迹定义

根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹

3、根轨迹的绘制

只需要利用开环零极点，就能绘制常规根轨迹。（根据开环零极点，描绘闭环特征根（极点）的曲线）

看下上面的例子用常规根轨迹法，只需要依靠开环零极点：

就能得到K从0变化的无穷大时，根的轨迹大概的样子（我们不介绍怎么具体画根轨迹）：

下面用matlab绘制上面闭环系统的根轨迹。

从上面可以看出系统的三个极点，本例题中没有零点。而且只有在K 满足一定条件的情况下系统才是稳定的。

在分析系统性能的时候，除了某一根轨迹点对应的开环增益外，有时还需要知道该增益所对应的其他闭环极点的值，这时候则只需输入以下命令即可：[K,p]=rlocfind(sys)；然后绘图上出现十字光标，只要点击根轨迹上的一点，命令窗口就会显示出，当前增益K的值，和其他的极点。

程序如下：

>> num=[1];                         %开环传函分子多项式系数
den=conv([1,1,0],[1,2]);            %开环传函分母多项式系数
sys=tf(num,den);                    %系统传递函数模型
rlocus(sys)                         %绘制系统的根轨迹图
[K,p]=rlocfind(sys)

4、根轨迹的作用

1. 从根轨迹的分布直观来说可以看出当K增加至多大时，系统会不稳定。
2. 根轨迹离虚轴越远，那么系统就越不容易因为自身参数K的变化而失去稳定，则系统的稳定程度就越高。
3. 如果系统的稳定程度不足的话，还可以在开环传递函数中增加零点，使得根轨迹左移，增加系统的稳定程度。这样一来，对系统稳定裕度的校正就变的非常直观了。

注意：根轨迹是S域（复频域）设计法，是依靠S来解决问题的。

那么K取值多少时系统比较稳定呢？

借助根轨迹这一工具， 我们可以看出随着系统参数变化，系统极点的分布情况，继而判定系统的稳定性及稳定边界。为获得较好的动稳态性能，常常取阻尼 $\xi$=0.707 对应的增益为最终的参数值。

首先利用matlab绘制出相应的根轨迹图：

>> s=tf('s');
G=1/s/(s+1)/(s+2);
figure;
rlocus(G)

结果如下图：

从图中可以出：

当K>6.03时，系统存在右半平面极点，系统不再稳定，因此，K应小于6.03。
当K=0.655时，系统阻尼约为0.705，系统的动态性能较佳。

根据上述分析，开环传递函数的最佳增益为0.655。利用step指令，可观察不同K值下，系统的阶跃响应。

s=tf('s');
K=[0.2 0.655 1];
for n=1:3
G=K(n)/s/(s+1)/(s+2);
Gc=feedback(G,1);
step(Gc)
hold on
end

从图中可以看出，K=0.655 确实在响应时间、超调量及调节时间之间得到折中，证实了前述参数设计方法的正确性。