数值分析2019年期末复习提纲

制作：纪元

本提纲遵循CC-BY-NC-SA协议

(署名-非商业性-相同方式共享)

考试相关

注意事项

允许携带计算器

卷面分占总成绩的70%

分数划分

单选10*2

填空10*2

判断10*1

客观5*10

考试时间

12月29日

第一章

解析解、数值解

解析解：可能等于精确解

数值解，是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值，而解析解为该函数的解析式。数值解就是用数值方法求出解，给出一系列对应的自变量和解。

解析解，是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值。比如一元二次方程求根公式。

精确解、近似解

追求满足精确度要求的近似解

误差来源

误差不避免

模型误差、观测误差

数值分析不考虑

截断误差（方法误差）

算法迭代终止产生的误差

舍入误差

计算机存储数值位数有限导致的误差，在后续计算中该误差又可能产生新误差（与算法稳定性有关）

绝对误差、相对误差：

实际情况下一般不要求计算具体值，因为精确值未知，一般要求绝对\相对误差限（知道误差的大致范围）

有效数字（重点）

考法：给数值，要求判该数值有几位有效数字（数值计算误差PPT9）推荐四舍五入法判断。

误差估计

对含有误差的数值进行加减乘除导致的误差限变化（P7常见公式）
含有误差的数值代函数导致的误差限变化P8公式

参考例题：P8-eg4

稳定性、收敛性

P10定义

理解含义

病态问题

由于问题本身不稳定，输入量的少量改变会导致结果的大幅度抖动。

计算条件数

P10公式

参考例题：数值计算误差PPT21（正反求导致误差变化）

计算方法优化

避免相近数字相减导致有效数字下降
避免分子数量级过度大于分母，导致溢出
避免“大数吃小数”（调整顺序使计算顺序由小到大）
尽量使用计算步骤较少的算法，减少舍入误差（eg：秦九韶算法）

考法：以下几种方法，从避免误差的角度来看，最合理的是哪种？

第二章

为什么插值

减少过多取样带来的成本\预测

如何插值

• 多项插值（计算机友好）给样本点，求值
• 三角插值（计算机不友好）
• 有理插值（计算机不友好）

基函数、系数

了解分别是什么

拉格朗日插值

P25公式
推荐先写分母，跳过Xk项，再写分子（Xk改为X）

性质：

• N次对n<=N次绝对精确（多项式插值、拉格朗日插值PPT23）
  因为误差为n+1阶倒数，n阶以下求导直接为0
• 基函数相加，值为1

牛顿插值

P31公式

优点：有继承性，改变插值点不需要重算，与插值点顺序无关（均差对称性）。
基函数：W0，W1…
系数：差商（考试时列表格计算即可）
优化：在插值点等距时可以计算差分代替差商，好处在不用计算除法 P34公式
误差估计（余项）：Rn（X）=f（X）－Ln（X）

其中余项中，柯西值不确定导致误差为一个范围。（牛顿插值PPT22）

龙格现象

并不是插值函数次数越高越好

赫尔敏特插值

本次考试不做要求

分段线性插值

特点：简单，有效，但性态不好（插值点不连续，无导数）
优化：三次赫尔敏特插值
最优化：三次样条插值

三次样条插值（重点）

P43公式

考法：非大题

注意事项：使用条件（三次样条PPT3）、边界条件（三次样条PPT7）

求解过程：三次样条PPT-16

参考例题：P45

第四章

数值积分

求积系数、求积节点、代数精度（牛顿-科特斯公式PPT7）

参考例题：（牛顿-科特斯公式PPT9）（牛顿-科特斯公式PPT10）

复合梯形、复合辛普森公式

P106公式、P107公式

参考例题：P108-eg3

科特斯公式

等距时系数固定，第八行时，由于出现负数，造成算法不稳定

要求：节点距离相等

（P104表格一二三行）

龙贝格

梯形序列，递推复用，不断二分
P110递推公式

自适应积分

不同区间使用不同步长（系数和始终为1）

高斯求积（重要）

n=1，节点=2（P122表）
代数精度：在所有机械求积公式中最高
参考例题：P123－eg10（代换变量，用表求解）

第五章

线性方程组直接解法

条件：主元全不为0
数值优化：全主元，列主元

LU分解（另一角度高斯消去）

P147步骤

考法：给一个矩阵，要求进行LU分解

平方根法

P157公式+表格

掌握使用的前提条件（对称正定）

追赶法

P160过程

考法：给三对角矩阵，要求使用追赶法分解
参考例题：P177－eg9，PPT18

范数

P162、P165定义

考法：1范数，无穷范数

条件数

P169定义

用来判断系数矩阵是否病态

第六章

雅各比-高斯赛德尔

收敛条件:P190

• 充分必要条件：谱半径(max特征值)<1

• 充分条件：范数<1

雅各比(提x迭代)

参考例题：P181

高斯塞德尔(代新分量迭代)

参考例题：P189

超松弛

收敛条件：P196

• 0 <松弛因子< 2

• 对称正定（各阶顺主子式>0）

参考例题:P195

第七章

二分法

考法：求解迭代多少次能达到要求的精度PPT10

参考例题：P214

精度到第n位，则(b-a)/2^(k+1)<=0.5*（1e-n）

不动点迭代

P216例题

收敛性判断：P216

考法：给不同迭代，判断哪些收敛

阿特金加速

了解原理P220

牛顿法

f(X)、fai(X)要分清（P223）