高等数学考研笔记（八）：微分方程

• 可分离变量的方程：

  • 定义：

  

  $\Rightarrow$ 若存在$g(y_0)=0$，则$y=y_0$是方程的奇解，不包括在隐式通解中，需要单独补上；

  • 可化为分离变量方程的类型：

    • 线性组合：若微分方程形如：
      $$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$$
      则令：$u=ax+by+c,du=adx+bdy$，有：
      $$\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}=a+bf(u)$$

    • 齐次式：若微分方程形如：
      $$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$
      则令：$u=\frac{y}{x},dy=udx+xdu$，有：
      $$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$

    • 齐次线性组合：若微分方程形如：
      $$\frac{dy}{dx}=f(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2})$$
      则令：$\{\begin{array}{ll}u=a_{1}x+b_{1}y+c_1,v=a_{2}x+b_{2}y+c_2,& (a_2,b_2)\ne k(a_1,b_1)\\ u=a_{1}x+b_{1}y,& (a_2,b_2)=k(a_1,b_1)\end{array}$

• 一阶线性微分方程：

  • 定义：形如：
    $$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$$
    的微分方程称为一阶线性微分方程，当$Q(x)=0$时称一阶齐次线性微分方程；

  • 通解：令积分因子：$u=e^{\int P(x)dx}$，方程两边同时乘以积分因子，整理得：
    $$d(yu)=Q(x)\times udx$$
    故通解为：
    $$y=\frac{1}{u}(C+\int Q(x)\times udx)$$

• 伯努利方程：

  • 定义：形如：
    $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^k,k\ne 0,1且k\in R$$

  • 通解：

    当$y\ne 0$时，两边同时乘以$y^{-k}$，得到：
    $$y^{-k}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-k}=\frac{1}{1-k}\frac{d(y^{1-k})}{dx}+P(x)y^{1-k}=Q(x)$$
    令$u=y^{1-k}$，则上式化为一阶线性微分方程：
    $$u^{\prime }+(1-k)P(x)u=(1-k)Q(x)$$

• 全微分方程：

  • 若微分方程形如：
    $$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$
    且满足：$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，则存在可微函数$u(x,y)$，使得$du=Pdx+Qdy$，且有：
    $$u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)dy={\int }_{x_0}^{x}P(x,y)dx+{\int }_{y_0}^{y}Q(x_0,y)dy$$
    其中：$(x_0,y_0)$可以从$P,Q$的公共定义域内任取；

• 高阶微分方程：

  • 可降阶的高阶微分方程：形如：
    $$y^{(n)}=f(x)$$
    $\Rightarrow$ 连续两边积分n次即可；

  • 不显含y的微分方程：形如：
    $$f(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$$
    令$y^{\prime }=p(x)$，则$y^{\prime \prime }=p^{\prime }$，上式化为一阶微分方程：
    $$f(x,p,p^{\prime })=0$$

  • 不显含x的微分方程：形如：
    $$f(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$$
    令$y^{\prime }=p(y)$，则：$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\times p_y^{\prime }$，则上式化为一阶微分方程：
    $$f(y,p,p\times p^{\prime })=0$$

• 二阶线性微分方程：

  • 定义：形如：
    $$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$$
    的方程叫二阶线性微分方程，当$f(x)=0$时，称二阶齐次线性微分方程；

  • 齐次方程的通解结构：若$y_1(x),y_2(x)$是二阶方线性微分方程的两个线性无关的解，则：
    $$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$$
    即是该方程的通解，其中$C_1,C_2$是互相独立的任意常数；

  • 非齐次方程的通解结构：

    若$y^{\ast }$是二阶非齐次线性微分方程的特解，而$C_1{y}_1+C_2{y}_2$是对应齐次线性微分方程的通解，则：
    $$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2+y^{\ast }$$
    即是非齐次方程的通解；

    $\Rightarrow$ 若$y_1^{\ast }$和$y_2^{\ast }$是非齐次方程的两个特解，则$y_1^{\ast }-y_2^{\ast }$是对应齐次方程的通解；

    $\Rightarrow$ 若$y_1$和$y_2$分别是非齐次方程$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)$和$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_2(x)$的两个解，则$y_1+y_2$是方程$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的通解；

  • 常数变易法：若$y_1,y_2$是齐次方程的两个线性无关的解，则其非齐次方程有特解：
    $$y^{\ast }=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2$$
    其中，$C_1(x),C_2(x)$满足方程组：
    $$\{\begin{array}{l}{C}_1^{\prime }{y}_1+C_2^{\prime }{y}_2=0\\ C_1^{\prime }{y}_1^{\prime }+C_2^{\prime }{y}_2^{\prime }=f(x)\end{array}$$

• n阶线性常系数微分方程：

  • 定义：形如：
    $$y^{(n)}+c_1{y}^{(n-1)}+...+c_{n}y=f(x)$$
    的方程称为n阶线性常系数微分方程，当$f(x)=0$时称n阶齐次线性常系数微分方程；

  • 特征方程：
    $${\lambda }^n+c_1{\lambda }^{n-1}+..+c_n=0$$

  • 齐次方程通解的结构：

  

  • 待定系数法求非齐次方程特解：

    • 设$f(x)=P_m(x)e^{\alpha x}$，其中$P_m(x)$是关于x的m次多项式函数，则非齐次方程的特解形式为：
      $$y^{\ast }=x^k{Q}_m(x)e^{\alpha x}$$
      其中，k是$\alpha$作为特征方程${\lambda }^2+p\lambda +q=0$的特征根的重数，$Q_m(x)$是关于x的m次多项式函数；

    • 设$f(x)=[A_{m_1}(x)cos\beta x+B_{m_2}(x)\sin \beta x]e^{\alpha x}$，其中$A_{m_1}(x)$、$B_{m_2}(x)$分别是x的$m_1$、$m_2$次多项式，令 m = m a x { m 1 , m 2 } m=max\{m_1,m_2\} m=max{m1​,m2​}，则非齐次方程的特解形式为：
      $$y^{\ast }=x^k[C_m(x)cos\beta (x)+D_{m}sin\beta x]e^{\alpha x}$$
      其中，k是$\alpha +\beta i$作为特征方程${\lambda }^2+p\lambda +q=0$的特征根的重数，$C_m(x),D_m(x)$均是关于x的m次多项式函数；

• 二阶欧拉方程：

  • 定义：形如：
    $$x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

  • 通解：令$x=e^t$，$D=\frac{d}{dt}$则：
    $$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}Dy \\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1}{x^2}Dy+\frac{1}{x^2}{D}^{2}y=\frac{1}{x^2}[D(D-1)]y \end{gathered}$$
    故原方程化为二阶常系数线性微分方程：
    $$[D(D-1)]y+pDy+qy=f(e^t)$$

  • 推广：对于n阶欧拉方程：
    $$x^n{y}^{(n)}+c_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+..+c_{n-1}x{y}^{\prime }+c_{n}y=f(x)$$
    同理令$x=e^t$，$D=\frac{d}{dt}$，可得：$x^k{y}^{(k)}=D(D-1)..(D-k+1)y=\frac{D!}{(D-k)!}y=A_D^{k}y$；

    原方程化为n阶常系数微分方程：
    $$\sum _{k=0}^n{c}_k{A}_D^{k}y=f(x),c_0=1$$