高等数学考研笔记（二）：函数论

• 映射相关概念：

  • 映射：设$A,B$为两个非空集合，若对于任意$x\in A$，按法则$f$有唯一的$y\in B$与之对应，则称$f$为$A$到$B$的映射，记为$f:A\to B$，并称$y$是$x$的像，$x$是$y$的原像，称$A$为映射$f$的定义域，记为$D_f$，称像集$f(A)$为$f$的值域，记为$f(A)$；

  • 特殊映射：

    • 满映射：若$B=f(A)$，则称$f$为满映射；
    • 单映射：若任意$x_1,x_2\in A,x_1\ne x_2$，则$f(x_1)\ne f(x_2)$，那么称$f$为单映射；
    • 一一映射/双映射：既是单映射又是满映射，则称$f$为一一/双映射；

• 一元函数相关概念：

  • 函数的定义：若$A\subset R(或C)$，则称$f:A\to R(或C)$为函数，记为$y=f(x),x\in A$，并称$x$为自变量，$y$为因变量；

  • 特殊函数：

    • 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；

    • 初等函数：由上述基本初等函数通过有限次四则运算或复合运算得到的函数叫做初等函数（初等函数在定义域内每一点都是连续的）；

  • 渐近线：

    • 铅垂渐近线：$x=a$；
    • 水平渐近线：$y=b$；
    • 斜渐近线：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a,\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-ax)=b$；

  • 函数基本性质：有界性；奇偶性；单调性；周期性；凹凸性；

  • 曲率圆：设曲线$f(x)$存在二阶导数，则曲线上一点$(x,f(x))$：

    • 曲率：$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$；
    • 曲率半径：$R=\frac{1}{K}=\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}{|y^{\prime \prime }|}$；
    • 曲率中心：$\{\begin{array}{l}{x}_c=x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }}\\ y_c=y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}\end{array}$；

• 无穷小：

  • 定义：若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0$，则称$f(x)$为当$x\to x_0$时的无穷小

  • 基本性质：

    ① 有限个无穷小的和仍为无穷小；
    ② 有限个无穷小的积仍为无穷小；
    ③ 有界函数与无穷小的积为无穷小；
    ④ 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大；

  • 无穷小的分阶：

    阶	定义
    高阶	若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$，则称$\beta$是比$\alpha$较高阶的无穷小
    低阶	若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$，则称$\alpha$是比$\beta$较低阶的无穷小
    k阶	若$\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=C$，则称$\beta$是$\alpha$的k阶无穷小
    同阶	若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=C$，则称$\beta$是$\alpha$的同阶无穷小
    等价	若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$，则称$\beta$是$\alpha$的同阶无穷小

  • 等价无穷小的替换定理：
    设在某极限过程中，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2$均为恒不为零的无穷小量，且${\alpha }_1$~${\alpha }_2$, ${\beta }_1$~${\beta }_2$，$u,v$是已知变量,则：
    $\lim ({\alpha }_1\cdot u)=\lim ({\alpha }_2\cdot u)$；
    $\lim \frac{{\alpha }_1\cdot u}{{\beta }_1\cdot v}=\lim \frac{{\alpha }_2\cdot u}{{\beta }_2\cdot v}$；

  • 常用等价无穷小替换：

    （1）$\sin x$ ~ $x$；
    （2）$\tan x$ ~ $x$；
    （3）$\arcsin x$ ~ $x$；
    （4）$\arctan x$ ~ $x$；
    （5）$\ln (1+x)$ ~ $x$；
    （6）$e^x-1$ ~ $x$；
    （7）$1-\cos x$ ~ $\frac{x^2}{2}$；
    （8）$(1+x{)}^{\alpha }-1$ ~ $\alpha x$；

• 一元函数的连续和间断：

  • 定义：若${\lim }_{x->x_0}f(x)=f(x_0)$, 则称函数在$x_0$处连续，反之则称函数在$x_0$处间断，若函数对于一个区间$I$内所有点都连续，则称函数在区间$I$上连续；

    $\Rightarrow$ 类比左/右极限，同样有左/右连续和左/右间断;

    • 一致连续性：某一函数$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意的$\epsilon >0$，总有$\delta >0$ ，使得在区间$I$上的任意两点$x_1$和$x_2$，当满足$|x_1-x_2|<\delta$时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$恒成立，则该函数在区间I上一致连续 ；

      $\Rightarrow$ 康托定理：对于在闭区间上定义的连续函数，其必定一致连续;

  • 间断点：

    间断点类型	释义
    第一类间断	函数在$x_0$处左右极限皆存在，但是至少有一个不等于$f(x_0)$，或f(x)在$x_0$处无定义； 第一类间断可细分为可去间断点（左右极限相等）和跳跃间断点（左右极限不相等）两种
    第二类间断	函数在$x_0$处左右极限至少有一个不存在； 第二类间断可细分为无穷间断点（左右极限至少有一个为无穷而不存在）和振荡间断点（左右极限至少有一个振荡而不存在）两种

  • 复合函数连续性定理：若$g(x)$的值域含于$f(y)$的定义域中，且$g(x)$在$x_0$处连续，而$f(y)$在$y_0=g(x_0)$处连续，则复合函数$f(g(x))$在$x_0$处连续；

  • 反函数存在性定理：若函数$y=f(x),x\in D$是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数 $x=f^{-1}(y):R_f\to D$，且$f^{-1}(y)$也是严格单调增加（减少）的；

  • 反函数连续性定理：设函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续且严格单调增加（减少），设$f(a)=\alpha ,f(b)=\beta$，则它的反函数$x=f^{-1}(y)$在$[\alpha ,\beta ]$（$[\beta ,\alpha ]$）上连续且严格单调增加（减少）；

  • 连续函数零点存在性定理：若$f(x)$在$[a,b]$上的图象是连续不断的一条曲线，并且有$f(a)\cdot f(b)＜0$，则f (x)在[a，b]内至少存在一个零点，即存在$c\in (a,b)$，使得$f(c)=0$；

  • 导函数的零点存在性定理：

    • 若$f(x)$有k个零点，则$f^{\prime }(x)$至少有k-1个零点；
    • 若$f^{\prime }(x)$至多有k个零点，则$f(x)$至多有k+1个零点；

  • 连续函数介值定理：若$f(x)$在区间$I$上定义且连续，若对于定义域内两点a,b，有$f(a)=A\ne f(b)=B$，则对于A,B之间的任意数C，必定存在a,b之间的某点c使得$f(c)=C$;

  • 有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]内定义且连续，则它必定有界；

  • 导函数有界性定理：

    • 在有限区间$(a,b)$上，若$f^{\prime }(x)$有界，则$f(x)$有界；若$f(x)$无界，则$f^{\prime }(x)$无界；
    • 在无穷区间上，$f(x)$的有界性和$f^{\prime }(x)$的有界性没有必然联系；

  • 最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]内定义且连续，则它在这个区间内必定能达到它的上下确界，即最大值和最小值；

• 多元函数相关概念：

  • 点和区域：设$G\subseteq R^n$，则有以下概念：

    概念	定义
    内点	若$P_0\in G$，且存在$\delta >0$，使得$N_{\delta }(P_0)\subseteq G$，则称$P_0$为$G$的内点，$G$内点的集合称为$G$的内部；
    外点	若$P_0\notin G$，且存在$\delta >0$，使得$N_{\delta }(P_0)\bigcap G=\varnothing$，则称$P_0$为$G$的外点，$G$外点的集合称为$G$的外部；
    边界点	若$P_0\in R^n$，且对于任意$\delta >0$，使得$N_{\delta }(P_0)$中既有点属于$G$，也有点不属于$G$，则称$P_0$为$G$的边界点，$G$边界点的集合称为$G$的边界；
    聚点	若$P_0\in R^n$，且对于任意$\delta >0$，使得$N_{\delta }(P_0)$（去心领域）中总有点属于$G$，则称$P_0$为$G$的聚点；
    开集	若$G$的所有点都是其内点，则称$G$为开集；
    闭集	若$G/R^n$是开集，则称$G$是闭集；
    连通集	若$G$内任意两点都可以用曲线相连，并且该曲线上所有点都属于$G$，则称$G$为连通集；
    开区域	若$G$既是开集又是连通集，则称$G$是开区域；
    闭区域	若存在非空开区域$A$，其边界为$B$，使得$G=A\bigcup B$，则称$G$为闭区域；
    区域	开区域和闭区域统称区域；

  • 多元函数：设$y=f(x_1,x_2,...,x_n),(x_1,x_2,...,x_n)\in D$，则称$x_1,x_2,...,x_n$为自变量，$y$为因变量，$D$为函数$f$的定义域，记为$D_f$，$f(D)$为函数$f$的值域；

    $\Rightarrow$ 基本性质： 大部分可通过一元函数的性质进行类比推广。。。

• 多元函数的连续和间断：

  • 定义：设$G\subseteq R^n$，函数$f$在$G$上有定义，$P_0$是$G$的聚点且$P_0\in G$，若$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=f(P_0)$，则称$f$在$P_0$处连续；若$G$每一点都是聚点，且$f$在$G$内每一点都连续，则称$f$在$G$上连续；反之，若$f$在$P_0$处不连续，称$f$在$P_0$处间断，此时称$P_0$是间断点；

  • 基本定理：零点定理 / 介值定理 / 有界性定理 / 最值定理 等均可由一元函数类比推广。。。

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