NumPy 统计实战指南

一份实用 NumPyy.Statistics 统计指南，覆盖描述统计、聚合、分位数、变异性、协方差、直方图和重采样。

• 对向量、矩阵和批次数据使用明确的 axis 统计。
• 区分位置、离散程度、形状、依赖性和不确定性。
• 有意识地处理 NaN、权重、异常值和样本自由度。
• 使用图形、已知恒等式和可复现实例验证统计摘要。

示例均为独立代码片段，可复制到 Python 3 环境中运行。

1. 数据形状、轴与统计摘要

NumPy 统计函数本质上是数组运算。同一个函数可以根据 axis 汇总整个数组、每一行、每一列或一个批次。在计算统计量前，应定义一行或一个元素代表什么，以及哪个轴保存观测。

函数	用途	重要参数
mean	算术平均	axis、dtype、where
median	中位数	axis、overwrite_input
sum	总和或加权累积	axis、dtype、keepdims
std	标准差	ddof、axis
var	方差	ddof、axis
min / max	极值	axis、where、initial
average	加权或非加权平均	weights、returned

import numpy as np

scores = np.array([[80, 90, 70], [65, 75, 85], [95, 88, 92]], dtype=float)
print("overall:", scores.mean())
print("per student:", scores.mean(axis=1))
print("per subject:", scores.mean(axis=0))
print("keepdims:", scores.mean(axis=0, keepdims=True).shape)

Axis 约定

• axis=None 把全部元素归约为一个标量。
• 对于矩阵，axis=0 压缩行并为每列返回结果；axis=1 压缩列并为每行返回结果。
• keepdims=True 保留被压缩的轴，使结果可以与原数组广播。
• 可复用函数和测试中使用 observation_axis 或 feature_axis 等明确名称。

2. 位置、分布与稳健摘要

位置统计描述数据的中心。均值使用所有数据，容易受极端值影响；中位数基于排序，通常对异常值更稳健。直方图或密度式图形很重要，因为两个数据集可能拥有相同均值和标准差，却有完全不同的分布形状。

图 1：当分布偏态或多峰时，均值和中位数可能不同。

图 2：异常值对均值和标准差的影响可能比对中位数更强。

values = np.array([4, 5, 5, 6, 7, 100], dtype=float)
mean = np.mean(values)
median = np.median(values)
trimmed_like = np.mean(np.sort(values)[1:-1])
print(mean, median, trimmed_like)

摘要	优点	限制
均值	使用全部数据，代数性质方便	对异常值和偏态敏感
中位数	稳健的位置摘要	不便于直接代数建模
最小/最大	展示支持范围和极值	对样本量非常敏感
极差	简单的离散程度	只使用两个观测
几何均值	乘法尺度下有意义	要求数据为正
加权平均	反映不同观测重要性	权重必须有依据

稳健性取决于上下文

稳健统计量不一定就是正确统计量。如果极端值是真实且重要的事件，删除或降低其权重可能掩盖过程的重要部分。应报告检测、保留、变换或排除异常值所使用的规则。

3. 方差、标准差与自由度

方差衡量相对于中心的平均平方偏离；标准差把离散程度恢复到原始单位。NumPy 的 ddof 控制除数：ddof=0 使用总体式除数 n，ddof=1 使用常见的样本方差除数 n−1。选择应匹配数组是要描述的完整总体，还是用来估计总体量的样本。

values = np.array([8.0, 9.0, 10.0, 12.0, 11.0])
mean = values.mean()
population_variance = values.var(ddof=0)
sample_variance = values.var(ddof=1)
sample_std = values.std(ddof=1)
standard_error = sample_std / np.sqrt(values.size)
print(mean, population_variance, sample_variance, standard_error)

量	NumPy 表达式	用途
总体方差	x.var(ddof=0)	描述完整有限集合
样本方差	x.var(ddof=1)	估计总体方差
总体标准差	x.std(ddof=0)	完整集合的离散程度
样本标准差	x.std(ddof=1)	样本离散程度估计
均值标准误	x.std(ddof=1)/sqrt(n)	假设下的抽样不确定性

单位与缩放

• 方差具有平方单位；标准差具有原始单位。
• 给所有值加常数会改变均值，但不会改变标准差。
• 把值乘以 c 会使标准差乘以 |c|，方差乘以 c²。
• 标准差小不代表测量准确，因为测量过程仍可能有系统偏差。

4. 分位数、百分位数、直方图与经验形状

分位数根据排序位置描述数值。第 50 百分位是中位数；四分位距是第 75 百分位减去第 25 百分位。NumPy 支持多种百分位插值方法，因此在要求精确复现的场景中应记录 method。

图 3：分位数标记偏态样本分布中的位置。

图 4：直方图的外观强烈依赖分箱数量。

values = np.random.default_rng(2026).lognormal(2.0, 0.55, size=3000)
quantiles = np.quantile(values, [0.05, 0.25, 0.5, 0.75, 0.95])
iqr = np.subtract(*np.quantile(values, [0.75, 0.25]))
hist_counts, bin_edges = np.histogram(values, bins="auto", density=False)
print(quantiles, iqr)
print(hist_counts[:5], bin_edges[:5])

统计量	定义	解释
p05 / p95	第 5 / 95 百分位	尾部参考位置
Q1 / Q3	第 25 / 75 百分位	中间一半的边界
中位数	第 50 百分位	排序中心位置
IQR	Q3 − Q1	稳健的中心离散程度
直方图	分箱中的计数	形状依赖分箱边界
密度直方图	面积归一化为 1	比较分布形状

百分位数方法与表达

对于有限样本，分位数可能位于两个观测之间，不同方法会采用不同插值。一般可以使用默认方法，但报告、监管计算或测试要求精确复现时，应明确记录 method。

5. 协方差、相关性与组间比较

协方差描述原始单位下的共同变化；相关系数把它缩放为无量纲值。NumPy 提供 cov 和 corrcoef，但结果取决于数据方向和自由度选择。应结合图形检查关联，并且不能把关联解释为因果。

图 5：协方差产生有方向的数据云，相关系数总结线性关联。

图 6：带标准差线的组均值展示中心和一种离散程度。

rng = np.random.default_rng(2026)
X = rng.multivariate_normal([0, 0], [[1.0, 0.7], [0.7, 1.5]], size=1000)

covariance = np.cov(X, rowvar=False, ddof=1)
correlation = np.corrcoef(X, rowvar=False)
weights = np.array([1.0, 2.0, 1.0, 3.0])
values = np.array([10.0, 12.0, 11.0, 15.0])
weighted_mean = np.average(values, weights=weights)
print(covariance)
print(correlation)
print(weighted_mean)

工具	输出	注意事项
cov	协方差矩阵	单位和行列方向很重要
corrcoef	相关矩阵	只总结线性依赖
average(weights=)	加权均值	权重需要抽样或业务含义
mean(axis=)	组均值或特征均值	说明观测轴
std(axis=)	组离散程度或特征离散程度	有意识选择 ddof

相关性注意事项

• 异常值可能支配协方差和相关系数。
• 非线性关系可能拥有较低的 Pearson 相关。
• 共同趋势或第三个变量可能造成表面关联。
• 配对或重复观测应在计算变化时保留配对关系。

6. 缺失值、掩码与 Bootstrap 风格的不确定性

NaN 需要明确处理策略。普通归约会传播 NaN；nanmean、nanstd、nanmedian 等函数忽略 NaN，但会改变有效样本量。masked array 或 where 参数可以表达有效性规则，避免把缺失值静默当作零。

图 7：有放回重采样为均值估计产生经验分布。

values = np.array([10.0, 11.0, np.nan, 13.0, 12.0])
print(np.mean(values))
print(np.nanmean(values))
print(np.nanstd(values, ddof=1))

valid = np.isfinite(values)
print(np.mean(values, where=valid))

rng = np.random.default_rng(2026)
observed = values[valid]
bootstrap_means = np.array([
    rng.choice(observed, size=observed.size, replace=True).mean()
    for _ in range(5000)
])
print(np.quantile(bootstrap_means, [0.025, 0.975]))

情况	NumPy 模式	需要决定
NaN 感知均值	np.nanmean(x)	NaN 是随机缺失还是结构性缺失？
有限值掩码	where=np.isfinite(x)	哪些值有效？
掩码数据	np.ma.masked_invalid(x)	有效性是否随数据传播？
Bootstrap 均值	choice(..., replace=True)	重采样单位是什么？
Bootstrap 区间	quantile(bootstrap, [...])	采用哪种区间方法？

不确定性不自动等于置信度

Bootstrap 分布描述所选重采样方案下的变异。只有当样本和重采样单位代表目标过程时，才能把它作为有意义的不确定性表达。相关时间序列、聚类观测和极小样本需要专门设计。

7. 可复现统计报告与验证

NumPy 统计摘要应当可审计。记录数据形状、观测轴、dtype、缺失值策略、自由度、权重、分位数方法，以及重采样或模拟使用的随机种子。使用恒等式、独立实现、图形和已知案例验证计算。

检查项	问题	行动
形状	一个观测是什么，哪个轴包含观测？	断言 shape 和 axis 约定
dtype	精度或整数溢出会影响结果吗？	选择 dtype 并检查尺度
缺失	NaN 或掩码代表什么？	明确掩码并报告数量
自由度	是总体还是样本估计？	显式设置 ddof
权重	为什么观测有不同权重？	记录权重定义和归一化
异常值	极端值是错误还是真实事件？	比较稳健和非稳健摘要
不确定性	估计有多大变异？	使用标准误或合适重采样
可复现	能否重新生成结果？	记录代码、版本和参数

# 可复现摘要对象
rng = np.random.default_rng(2026)
values = rng.normal(loc=100.0, scale=12.0, size=10_000)
summary = {
    "n": int(values.size),
    "mean": float(np.mean(values)),
    "median": float(np.median(values)),
    "std_ddof1": float(np.std(values, ddof=1)),
    "q05": float(np.quantile(values, 0.05)),
    "q95": float(np.quantile(values, 0.95)),
    "finite_count": int(np.isfinite(values).sum()),
}
print(summary)

NumPy 统计最终检查表

• 在计算统计量前定义观测单位、轴、单位和缺失值策略。
• 结合均值、中位数、分位数、离散程度和图形理解分布形状。
• 有意识地设置 ddof、权重、分位数方法和 dtype。
• 把协方差和相关性视为描述性关联，而不是因果关系。
• 报告不确定性、样本量、稳健性选择和可复现细节。