1. 支持向量机相关概念

支持向量机（SVM）是一种经典二分类模型，核心目标是 寻找 “最大间隔超平面”实现类别划分，

• 最大间隔超平面：能将不同类别样本分开，且与两类样本的最小距离（间隔）最大的超平面；
• 支持向量：距离超平面最近的样本点（决定了间隔大小，是模型训练的核心样本）；
• 软间隔与参数 C：当样本不完全线性可分时，允许部分样本越界（“软间隔”），参数C控制 “间隔最大化” 与 “分类错误最小化” 的权衡：C越大，对分类错误的惩罚越重，模型更倾向于正确分类所有样本；
• 核函数：将低维非线性可分样本映射到高维特征空间，使其线性可分（本题数据集为线性可分，使用线性核）。

2. 实验过程和内容

2.1 实验目的

基于 “Example Dataset 1”（二维特征 + 二分类标签），使用线性 SVM实现分类，观察C=100时的决策边界，验证 SVM 的分类效果。

2.2 数据集说明

数据集包含 2 个特征（x1、x2），标签分为两类：

• 正类（Positive）：用 “×” 表示，分布在特征空间的右上方区域；
• 负类（Negative）：用 “・” 表示，分布在特征空间的左下方区域；样本整体呈线性可分分布。

2.3 实验步骤

1. 构造 / 加载模拟数据集；
2. 初始化线性 SVM 模型；
3. 用数据集训练 SVM 模型；
4. 绘制样本点与 SVM 决策边界；
5. 分析决策边界与分类效果。

3. 代码分段实现

3.1 导入依赖库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.svm import SVC  # 支持向量机分类器
from sklearn.datasets import make_blobs  # 生成模拟分类数据

3.2 构造模拟数据集（匹配题目分布）

# 生成正类（Positive）和负类（Negative）样本
# 负类：左下方，正类：右上方
X_neg, y_neg = make_blobs(n_samples=25, centers=[[1.5, 2.5]], cluster_std=0.6, random_state=42)
X_pos, y_pos = make_blobs(n_samples=20, centers=[[3.0, 4.0]], cluster_std=0.5, random_state=42)

# 合并为完整数据集：特征X + 标签y（负类→0，正类→1）
X = np.vstack([X_neg, X_pos])
y = np.hstack([np.zeros(len(X_neg)), np.ones(len(X_pos))])

3.3 初始化并训练 SVM 模型（C=100，线性核）

# 初始化线性SVM，设置C=100（对分类错误惩罚较重）
svm_model = SVC(kernel='linear', C=100, random_state=42)
# 训练模型
svm_model.fit(X, y)

3.4 绘制样本点与决策边界

# 1. 绘制样本点
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X_neg[:, 0], X_neg[:, 1], c='gold', label='Negative', marker='o', s=50)
plt.scatter(X_pos[:, 0], X_pos[:, 1], c='black', label='Positive', marker='x', s=50)

# 2. 绘制决策边界（超平面）
# 生成网格点用于绘制决策边界
x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 0.5, X[:, 0].max() + 0.5
x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 0.5, X[:, 1].max() + 0.5
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(x1_min, x1_max, 200), np.linspace(x2_min, x2_max, 200))

# 预测网格点类别
Z = svm_model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)

# 绘制决策边界与区域
plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.1, cmap=plt.cm.coolwarm)
# 绘制决策超平面（线性边界）
w = svm_model.coef_[0]
b = svm_model.intercept_[0]
x1_plot = np.linspace(x1_min, x1_max, 200)
x2_plot = (-w[0] * x1_plot - b) / w[1]
plt.plot(x1_plot, x2_plot, 'g-', linewidth=2, label='Decision Boundary')

# 3. 图表设置
plt.title('SVM Decision Boundary with C = 100 (Example Dataset 1)')
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel('x2')
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

4. 实验总结

4.1 实验结果

当C=100时，SVM 模型学习到的线性决策边界能清晰分离 “Positive” 与 “Negative” 样本，且由于C值较大，模型对分类错误的惩罚较重，最终实现了所有样本的正确分类。

4.2 实验分析

• C 参数的影响：C=100属于较大值，此时模型更优先保证 “分类正确”，因此决策边界更贴近部分样本（支持向量），间隔相对较小；若减小C，模型会更注重 “间隔最大化”，允许少量样本越界。
• SVM 的优势：仅依赖 “支持向量” 训练模型，计算效率高，泛化能力强；线性核在样本线性可分时效果简洁高效。
• 局限性：当样本量极大时，SVM 的训练效率会降低；非线性场景需依赖核函数选择。