一种用于非线性过程的基于 zonotope 的大数据驱动预测控制方法

• 作者：Shuangyu Han；Yitao Yan；Jie Bao；Biao Huang
• 学校：新南威尔士大学化学工程学院；阿尔伯塔大学化学与材料工程系
• 关键词：行为系统理论；大数据；层次聚类；数据驱动预测控制；zonotope
• DOI / 论文链接：https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2025.07.117

1. 研究背景、问题定义与核心思路

1.1 研究动机与关键挑战

这篇论文面向非线性过程的大数据驱动预测控制。作者指出，经典 DeePC 与行为理论框架在线性时不变系统上有坚实基础，但工业过程往往存在明显的工况切换、局部线性区差异和大规模历史轨迹共存的问题；如果仍试图用单个线性行为模型覆盖全部数据，就会在在线预测和控制中出现明显保守性。论文的核心问题因此变成：如何把海量非线性输入输出轨迹拆成若干局部线性子行为，并在在线控制时根据当前轨迹在这些子行为之间做可计算、可插值的切换。

1.2 方法框架与核心思路

作者的路线是先把输入输出轨迹做两阶段层次聚类，再把每个轨迹簇近似成一个 zonotope，最后在在线滚动优化时根据当前轨迹求一个最接近当前中心轨迹的插值 zonotope。论文虽不是传统状态空间建模，但它的“系统模型”实际上由行为矩阵、zonotope 参数化和在线预测公式共同构成：

$${\mathcal{H}}_L(\tilde{w})=\left[\begin{array}{cccc}w(1)& w(2)& \cdots & w(T-L+1)\\ w(2)& w(3)& \cdots & w(T-L+2)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ w(L)& w(L+1)& \cdots & w(T)\end{array}\right],$$

$$Z_i=\left\{\tilde{w}\mid \tilde{w}={\tilde{c}}_i+{\mathcal{H}}_L(\Delta {\tilde{W}}_i)g,\Vert g{\Vert }_{\infty }\le 1\right\},$$

$$\bar{Z}=({\alpha }_1{Z}_1)\oplus ({\alpha }_2{Z}_2)\oplus \cdots \oplus ({\alpha }_{N_c}{Z}_{N_c}),\sum _{i=1}^{N_c}{\alpha }_i=1,{\alpha }_i\ge 0.$$

其中，${\mathcal{H}}_L(\tilde{w})$ 是行为理论中的 Hankel / mosaic-Hankel 参数化骨架；${\tilde{c}}_i$ 是第 $i$ 个轨迹簇的中心轨迹；${\mathcal{H}}_L(\Delta {\tilde{W}}_i)$ 则把该簇相对中心轨迹的偏差编码成 zonotope 生成矩阵。在线控制的关键不再是辨识显式状态方程，而是在有限个轨迹簇的 zonotope 顶点之间做凸组合，再用该组合后的 Hankel 结构预测下一步输入输出。

1.3 主要创新点

• 两阶段层次聚类：先按欧氏距离拆开“轨迹形状差异”，再按线性子空间距离拆开“局部行为差异”，从而把海量非线性数据组织成多个线性子行为簇。
• zonotope 化的轨迹簇表示：每个轨迹簇不再只保留均值或单条代表轨迹，而是保留一个带有集合包络能力的 zonotope 表示，使在线插值时能显式处理簇内不确定性。
• 插值 zonotope 驱动的在线 BDPC：在线阶段先解一个“中心轨迹最近”的插值问题，再用插值后的 Hankel 矩阵和中心轨迹计算控制动作，把聚类、集合表示和滚动优化串成一条完整方法链。

2. 核心方法与技术主线解析

2.1 整体技术路线

这篇论文的技术主线不是“先定理后证明”的风格，而是一个 formal lemma 加多个构造性算法块。具体顺序是：先由 Lemma 1 给出线性子行为可由 mosaic-Hankel 矩阵参数化的理论骨架；再用 Algorithm 1 把大样本非线性轨迹切分成若干局部线性簇；接着用式 (8) 和式 (9) 把每个轨迹簇表示成 zonotope，并在簇之间构造凸组合插值；最后在 Algorithm 2 中，每个滚动时刻先求插值 zonotope，再用插值后的 Hankel 结构求控制输入。

2.2 关键技术块解析

Lemma 1 是整篇论文唯一正式的理论结果块，它把“轨迹是否属于某个线性子行为”转化成“是否能由 mosaic-Hankel 矩阵乘以某个系数向量 $g$ 来表示”。这一步的重要性在于：后文所有聚类后的局部簇、zonotope 生成矩阵以及在线预测公式，都默认每个局部簇仍然继承这一行为参数化骨架。换句话说，Lemma 1 并不直接给出控制律，但它提供了后续所有构造的可参数化前提。

Algorithm 1 对应论文最关键的“由大数据到局部线性子行为”的离线步骤。第一个阶段按轨迹欧氏距离分裂簇，解决的是不同运行模式之间的轨迹几何差异；第二个阶段按线性子空间距离继续细分，解决的是“表面轨迹接近但动态子空间仍不同”的情形。这个算法块的作用不是简单聚类，而是为后面的 zonotope 逼近准备一批局部可近似为线性行为的数据簇。

式 (8) 把第 $i$ 个轨迹簇写成一个 zonotope：

$$Z_i=\left\{\tilde{w}\mid \tilde{w}={\tilde{c}}_i+{\mathcal{H}}_L(\Delta {\tilde{W}}_i)g,\Vert g{\Vert }_{\infty }\le 1\right\}.$$

这一步的含义是：轨迹簇不只是一堆离散样本，而是由“中心轨迹 + 偏差生成器”构成的集合对象。这里的 ${\tilde{c}}_i$ 给出簇的代表轨迹，${\mathcal{H}}_L(\Delta {\tilde{W}}_i)$ 给出簇内偏差张成的方向，$\Vert g{\Vert }_{\infty }\le 1$ 则把这些偏差限制在一个紧致集合里。因此，式 (8) 是从聚类结果走向“可插值集合表示”的桥梁。

式 (9) 则进一步把多个轨迹簇 zonotope 通过凸组合拼成一个插值 zonotope：

$$\bar{Z}=({\alpha }_1{Z}_1)\oplus ({\alpha }_2{Z}_2)\oplus \cdots \oplus ({\alpha }_{N_c}{Z}_{N_c}),\sum _{i=1}^{N_c}{\alpha }_i=1,{\alpha }_i\ge 0.$$

这里的 ${\alpha }_i$ 不是普通的加权平均系数，而是决定在线控制时当前轨迹更接近哪些局部子行为的插值权重。这一步很关键，因为它把“离线只得到有限个簇”的局限，转化成“在线可以在有限个簇之间连续插值”的能力，从而避免控制器只能在离散模式间硬切换。

在线阶段，论文先解一个“当前轨迹到插值中心轨迹最近”的问题

$$\underset{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{N_c}}{\min }\Vert \tilde{w}-\widetilde{\stackrel{ˉ}{c}}\Vert \text{s.t.}\sum _{i=1}^{N_c}{\alpha }_i=1,{\alpha }_i\ge 0,$$

再利用插值后的 Hankel 分块预测未来输出并求控制动作：

$$\Delta \tilde{y}(k)=\Delta {\bar{Y}}_f{\left[\begin{array}{c}\Delta {\bar{Y}}_p\\ \Delta {\bar{U}}_p\\ \Delta {\bar{U}}_f\end{array}\right]}^{†}\left[\begin{array}{c}\Delta \tilde{y}{|}_{[k-L+1,k-1]}\\ \Delta \tilde{u}{|}_{[k-L+1,k-1]}\\ \Delta \tilde{u}(k)\end{array}\right],$$

$$\left[\begin{array}{c}\tilde{u}(k)\\ \tilde{y}(k)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\Delta \tilde{u}(k)\\ \Delta \tilde{y}(k)\end{array}\right]+{\widetilde{\stackrel{ˉ}{c}}}_f.$$

Algorithm 2 把这条在线主线压缩成一个极简循环：先更新插值 zonotope，再按式 (12) 求控制量并施加到过程。它之所以重要，不是因为步骤多，而是因为它明确说明了论文方法如何在每个 receding horizon 中落地，而不是停留在离线聚类或集合表示层面。

3. 仿真结果与对比分析

3.1 仿真设置与对比对象

论文用一个铝电解过程来验证所提 BDPC。被控对象由 36 个投料区域和 3 个氧化铝 feeder 组成，控制目标是通过调节 3 个区域的投料速率，使 3 个区域的阳极电流与公共槽电压跟踪设定值。文中给出了过程的关键离散模型：

$$C_i^u(k+1)=C_i^u(k)-k_d{C}_i^u(k)+g_i(k)\frac{r}{m_i},$$

$$C_i^d(k+1)=C_i^d(k)+k_d{C}_i^u(k)+g_i(k)\frac{1-r}{m_i}+M_i^e(k)-\frac{F_{aA{l}_2{O}_3}(I_i^a)(k)}{m_i},$$

$$C_{\mathrm{avg}}^d(k)=\frac{1}{36}\sum _{i=1}^{36}{C}_i^d(k),I_l=\sum _{i=1}^{36}{I}_i^a(k),V^c(k)=h(I_l,\mathrm{ACD},C_{\mathrm{avg}}^d(k),\theta ).$$

其中，$C_i^u$ 与 $C_i^d$ 分别表示未溶解和已溶解氧化铝浓度，$g_i$ 是投料量，$I_i^a$ 是阳极电流，$V^c$ 是槽电压。也就是说，仿真部分并不是抽象的信号跟踪，而是一个具有明确物理输入输出含义的工业过程控制例子。

作者共使用 100 条、长度为 100 分钟的输入输出轨迹进行离线建模，所有 manifest variables 做全局归一化；设定 $L=7$、${ϵ}_E=10$、${ϵ}_S=2$ 后，Algorithm 1 最终得到 7 个轨迹簇。工业上常用的四种投料窗口如 Fig. 2 所示，它们对应不同的 feed-rate 逻辑区间；这些窗口决定了离线采集轨迹的工况多样性，也解释了为什么单一线性行为模型不足以覆盖全部操作模式。

3.2 主要结果与对比说明

Fig. 3 给出了论文真正的结果证据：上图是 3 个区域阳极电流误差，中图是槽电压误差，下图是 3 个区域投料速率。文中没有设置另一个预测控制器作为算法基线，因此这里能安全得出的结论是：在给定聚类参数、参考点和权重矩阵的条件下，所提 BDPC 能把三路阳极电流和槽电压误差逐步压到零附近，同时生成平滑收敛的投料轨迹。

更细一点看，电流误差曲线在约 20 分钟后已经明显收敛，槽电压误差则从约 $-17\mathrm{mV}$ 单调逼近 0，下方的投料速率曲线经历了初始重分配后逐步稳定在新的给料水平。这个结果支持论文的核心主张：利用离线聚类得到的有限个轨迹簇，再通过 zonotope 插值进行在线更新，确实可以在非线性工况下实现有效的轨迹跟踪。但需要注意，由于文中没有与 DeePC、单模型 MPC 或无插值版本做并列比较，所以 Fig. 3 更像是可行性和有效性证据，而不是严格的优越性证明。

4. 后续研究方向

1. 标题：带稳定性保证的 zonotope-BDPC
   核心想法： 在现有插值 zonotope 与在线优化框架上，引入增量耗散性或 Lyapunov 型约束，补上论文明确留到 future work 的闭环稳定性证明。
   数学推导难度：高

2. 标题：含噪声与建模误差的鲁棒轨迹簇插值
   核心想法： 把测量噪声、轨迹截断误差和低秩近似残差一起并入 zonotope / constrained zonotope 描述中，分析插值权重与预测误差之间的保守边界。
   数学推导难度：很高

3. 标题：面向经济运行的多目标 BDPC
   核心想法： 在当前跟踪型目标之外，再把能耗、**投料成本和约束违背惩罚并入优化指标，研究轨迹簇插值在经济 MPC 场景下的可解性与性能折中。
   数学推导难度：中到高

5. 总结与评价

这篇论文最有价值的地方，在于它没有停留在“非线性过程很复杂，所以要做聚类”这一层，而是把行为理论的参数化、层次聚类的局部化、zonotope 的集合表达以及在线滚动优化接成了一条可执行的方法链。对这篇论文而言，真正值得截图保留的 formal block 其实只有 Lemma 1，其余关键贡献主要体现在算法块和公式构造上；因此，理解它的关键也不在于寻找更多 theorem，而在于看清楚“聚类如何变成 zonotope，zonotope 如何变成在线预测控制器”。从仿真结果看，所提方法在铝电解案例上展示了良好的跟踪可行性，但关于稳定性、鲁棒性和相对基线性能的论证仍有继续深化空间。