C++二叉搜索树详解
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1. 二叉搜索树
1.1二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树 ，或者是具有以下性质的二叉树:
若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树
下面的一棵树就是二叉搜索树：
1.2 二叉搜索树操作
二叉搜索树的查找：
a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
二叉搜索树的插入：
a. 树为空，则直接新增节点，赋值给 root 指针。
b. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点。
二叉搜索树的删除：
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回 , 否则要删除的结点可能分下面几种情
况：
a. 要删除的结点无孩子结点
b. 要删除的结点只有左孩子结点
c. 要删除的结点只有右孩子结点
d. 要删除的结点有左、右孩子结点
对于情况a，可以直接删除。对于b，c情况，也是直接删除，不过需要父亲节点指向它的孩子。对于d情况，则需要找一个节点替代要删除的节点（这个节点是左子树的最右节点或者右子树的最左节点）
1.3二叉搜索树的实现
二叉搜索树主要的功能就是插入，删除，查找。有两种方式实现这三个功能一个是循环迭代的方式，另外一种是递归版本。
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_key(key)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
BSTree()
:_root(nullptr)
{}
//完成深拷贝
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
}
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
//提前记录父亲节点，为后面插入做准备
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key == key)
{
return false;
}
else
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
}
//找到了要插入的位置
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = new Node(key);
}
else
{
parent->_right = new Node(key);
}
return true;
}
bool Find(const K& key)
{
if (_root)
{
return false;
}
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key == key)
{
return true;
}
else if(cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
cur = cur->_right;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
//左为空且删除的就是根节点，此时parent为空
if (_root == cur)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
}
//右为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (_root == cur)
{
_root = _root->_left;
}
else
{
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
}
else
{
//找左树的最右节点做替代
//这里的替代指的是把最右节点的值和要删除节点的值进行交换，然后把这个节点删除，而不是删除本身自己
Node* parent = cur;
Node* leftMax = cur->_left;
while (leftMax->_right)
{
parent = leftMax;
leftMax = leftMax->_right;
}
//值交换
swap(cur->_key, leftMax->_key);
//把最右节点的左孩子托孤
if (parent->_left == leftMax)
{
parent->_left = leftMax->_left;
}
else
{
parent->_right = leftMax->_left;
}
//把最右节点销毁置空
cur = leftMax;
}
delete cur;
cur = nullptr;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
//递归版本的实现
bool FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}
bool InsertR(const K& key)
{
return _InsertR(_root, key);
}
bool EraseR(const K& key)
{
return _EraseR(_root, key);
}
private:
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* copyroot = new Node(root->_key);
copyroot->_left = Copy(root->_left);
copyroot->_right = Copy(root->_right);
return copyroot;
}
void Destroy(Node*& root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
root = nullptr;
}
bool _FindR(Node* root,const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key > key)
{
return _FindR(root->_left, key);
}
else if (root->_key < key)
{
return _FindR(root->_right, key);
}
else
{
return true;
}
}
bool _InsertR(Node*& root,const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key);
return true;
}
if (root->_key > key)
{
return _InsertR(root->_left, key);
}
else if(root->_key < key)
{
return _InsertR(root->_right, key);
}
else
{
return false;
}
}
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
else if (root->_key > key)
{
return _EraseR(root->_left, key);
}
else if (root->_key < key)
{
return _EraseR(root->_right, key);
}
else
{
Node* del = root;
// 1、左为空
// 2、右为空
// 3、左右都不为空
if (root->_left == nullptr)
{
//这里很关键 为什么这里这样写就可以了呢？
//因为 这里引用起了大作用 递归到这里 root是上一层节点root->_left或者root->_right的引用
//把root修改 就相当于修改上一个节点的指向
root = root->_right;
}
else if (root->_right == nullptr)
{
root = root->_left;
}
else
{
Node* leftMax = root->_left;
while (leftMax->_right)
{
leftMax = leftMax->_left;
}
swap(root->_key, leftMax->_key);
return _EraseR(root->_left, key);
}
delete del;
return true;
}
}
Node* _root;
};
void TestBSTree1()
{
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
BSTree<int> t;
for (auto e : a)
{
t.InsertR(e);
}
t.InOrder();
/*t.Erase(4);
t.InOrder();
t.Erase(6);
t.InOrder();
t.Erase(7);
t.InOrder();
t.Erase(3);
t.InOrder();
for (auto e : a)
{
t.Erase(e);
}
t.InOrder();*/
t.EraseR(4);
t.InOrder();
t.EraseR(6);
t.InOrder();
t.EraseR(7);
t.InOrder();
t.EraseR(3);
t.InOrder();
for (auto e : a)
{
t.EraseR(e);
}
t.InOrder();
}
void TestBSTree2()
{
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
BSTree<int> t;
for (auto e : a)
{
t.InsertR(e);
}
int a1[] = { 8, 3, 1, 10};
BSTree<int> t2;
for (auto e : a1)
{
t2.InsertR(e);
}
BSTree<int> t1(t);
t2 = t;
t.InOrder();
t1.InOrder();
t2.InOrder();
}
2 二叉搜索树的应用
2.1K模型和kv模型
1. K 模型： K 模型即只有 key 作为关键码，结构中只需要存储 Key 即可，关键码即为需要搜索到
的值 。
比如给一个单词 word ，判断该单词是否拼写正确 ，具体方式如下：
以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树。
在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
2. KV 模型：每一个关键码 key ，都有与之对应的值 Value ，即 <Key, Value> 的键值对。
比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英
文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出
现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
2.2改造二叉搜索树为KV模型
namespace key_value
{
template<class K,class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K,V>* _left;
BSTreeNode<K,V>* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(const K& key,const V& value)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key)
,_value(value)
{}
};
template<class K,class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K,V> Node;
public:
BSTree()
:_root(nullptr)
{}
//完成深拷贝
BSTree(const BSTree<K,V>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree<K,V>& operator=(BSTree<K,V> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " "<<root->_value;
cout << endl;
_InOrder(root->_right);
}
//递归版本的实现
Node* FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}
bool InsertR(const K& key,const V& value)
{
return _InsertR(_root, key,value);
}
bool EraseR(const K& key)
{
return _EraseR(_root, key);
}
private:
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* copyroot = new Node(root->_key,root->_value);
copyroot->_left = Copy(root->_left);
copyroot->_right = Copy(root->_right);
return copyroot;
}
void Destroy(Node*& root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
root = nullptr;
}
Node* _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return nullptr;
}
if (root->_key > key)
{
return _FindR(root->_left, key);
}
else if (root->_key < key)
{
return _FindR(root->_right, key);
}
else
{
return root;
}
}
bool _InsertR(Node*& root, const K& key,const V& value)
{
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key,value);
return true;
}
if (root->_key > key)
{
return _InsertR(root->_left, key,value);
}
else if (root->_key < key)
{
return _InsertR(root->_right, key,value);
}
else
{
return false;
}
}
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
else if (root->_key > key)
{
return _EraseR(root->_left, key);
}
else if (root->_key < key)
{
return _EraseR(root->_right, key);
}
else
{
Node* del = root;
// 1、左为空
// 2、右为空
// 3、左右都不为空
if (root->_left == nullptr)
{
//这里很关键 为什么这里这样写就可以了呢？
//因为 这里引用起了大作用 递归到这里 root是上一层节点root->_left或者root->_right的引用
//把root修改 就相当于修改上一个节点的指向
root = root->_right;
}
else if (root->_right == nullptr)
{
root = root->_left;
}
else
{
Node* leftMax = root->_left;
while (leftMax->_right)
{
leftMax = leftMax->_left;
}
swap(root->_key, leftMax->_key);
return _EraseR(root->_left, key);
}
delete del;
return true;
}
}
Node* _root;
};
}
例：统计水果出现的次数：
void TestBSTree3()
{
string arr[] = { "西瓜", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
key_value::BSTree<string, int> countTree;
for (auto& str : arr)
{
auto ret = countTree.FindR(str);
if (ret == nullptr)
{
countTree.InsertR(str, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
countTree.InOrder();
}3.二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二
叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树 ( 或者接近完全二叉树 )，其平均比较次数为：O（
）
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树 ( 或者类似单支 ) ，其平均比较次数为：O（N）
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