摘要

本文系统研究了在正交频分复用（OFDM）系统中，利用进化算法（遗传算法GA、粒子群优化PSO、灰狼优化GWO）优化导频位置以提升信道估计性能。通过构建完整的仿真框架，对比了均匀导频、边缘均匀导频、随机导频及多种进化算法导频的均方误差（MSE）与误比特率（BER）。

1. 背景与意义

1.1 OFDM 与信道估计

正交频分复用（OFDM）技术是现代无线通信系统的基石，广泛应用于 4G/5G 移动通信、Wi-Fi、数字电视广播等领域。OFDM 通过将高速数据流分配到多个正交子载波上传输，有效对抗频率选择性衰落，并简化了均衡器的设计。

然而，OFDM 接收端需要准确知道每个子载波上的信道响应，才能进行相干解调。信道估计的精度直接决定了系统误码率性能。实际无线信道具有时变、频变特性，信道状态信息（CSI）必须实时获取。

1.2 导频辅助的信道估计

最实用的信道估计方法是导频辅助：在发送信号中插入收发双方已知的导频符号，接收端利用这些导频来估计信道。这一方案面临一个经典权衡：

导频数量	优点	缺点
多	信道估计准确	频谱效率低（导频开销大）
少	频谱效率高	信道估计精度差

在导频数量固定时，导频在频域上的位置分布成为影响估计质量的关键因素。传统的做法是均匀间隔放置导频——简单、直观，且在信道响应相对平坦时表现良好。但实际信道的频率响应往往不均匀：某些频段变化剧烈，某些频段则较为平缓。均匀导频无法“按需分配”，难以在有限导频预算下达到最优估计。

1.3 为什么引入进化算法？

理论上，最优导频图案可以通过穷举搜索获得——在全部 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{K}\right)$ 种组合中找到最佳。当子载波数 $N=64$、导频数 $K=8$ 时，组合数高达 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{64}{8}\right)\approx 4.4\times 10^9$，穷举计算量不可接受。

进化算法（Evolutionary Algorithms，EAs）是受自然界“优胜劣汰”或群体智能启发的一类随机优化方法，能够在巨大搜索空间中高效寻找近似最优解。近年来，遗传算法（Genetic Algorithm, GA）、粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）、灰狼优化（Grey Wolf Optimizer, GWO）等已被成功应用于无线通信的资源分配、波束成形、导频设计等问题中。

2. 理论基础

本章从 OFDM 基带数学模型出发，严格推导导频辅助信道估计的全过程，深入解析频率选择性信道的统计特性，并将导频图案选择问题形式化为一个带正则化约束的组合优化问题，为后续进化算法的应用奠定坚实的数学基础。

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2.1 OFDM 系统模型与信号表征

考虑一个具有 $N$ 个子载波的 OFDM 系统（本文 $N=64$），其中 $K$ 个子载波用于传输导频符号（$K=8$），其余用于传输数据。设 P = { p 0 , p 1 , … , p K − 1 } \mathcal{P} = \{p_0, p_1, \dots, p_{K-1}\} P={p0​,p1​,…,pK−1​} 为导频子载波索引集合，$\mathcal{D}$ 为数据子载波索引集合，满足 P ∪ D = { 0 , 1 , … , N − 1 } \mathcal{P} \cup \mathcal{D} = \{0, 1, \dots, N-1\} P∪D={0,1,…,N−1} 且 $\mathcal{P}\cap \mathcal{D}=\varnothing$。

发送的频域信号 $X[m]$ 表示为：

$$X[m]=\{\begin{array}{ll}{P}_m,& m\in \mathcal{P}\\ D_m,& m\in \mathcal{D}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中导频符号 $P_m$ 为已知的单位增益复指数（本文设为 $P_m=1+0j$）；数据符号 $D_m$ 采用 QPSK 调制，映射规则为：

D m = 1 2 ( ( 1 − 2 b 0 ) + j ( 1 − 2 b 1 ) ) , b 0 , b 1 ∈ { 0 , 1 } (2) D_m = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( (1 - 2b_0) + j(1 - 2b_1) \right), \quad b_0, b_1 \in \{0, 1\} \tag{2} Dm​=2 ​1​((1−2b0​)+j(1−2b1​)),b0​,b1​∈{0,1}(2)

接收端在理想同步条件下，去除循环前缀（CP）并进行 FFT 解调后，第 $m$ 个子载波的频域接收信号为：

$$Y[m]=H[m]\cdot X[m]+W[m],m=0,1,\dots ,N-1\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $H[m]$ 为复信道频率响应 (CFR)，$W[m]\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }_w^2)$ 为加性复高斯白噪声。噪声功率由信噪比 (SNR)决定：${\sigma }_w^2=10^{-\text{SNR}/10}$（在信号功率归一化为1的条件下）。

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2.2 频率选择性瑞利多径信道建模

本文采用抽头延迟线（Tapped Delay Line， TDL）模型模拟频率选择性衰落信道。时域离散冲激响应为：

$$h(\tau )=\sum _{l=0}^{L-1}{h}_l\cdot \delta (\tau -l{T}_s)\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $L$ 为多径抽头数（取 4, 8, 12），$T_s$ 为采样间隔。抽头增益 $h_l$ 建模为零均值复高斯随机变量：

$$h_l\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }_l^2)\text{\hspace{1em}(5)}$$

这意味着幅度 $|h_l|$ 服从瑞利分布，因此称为瑞利衰落信道。各抽头间相互独立（非相关散射）。

为模拟真实传播环境中“早径强、晚径弱”的物理特性，本文采用指数功率延迟剖面（Exponential Power-Delay Profile）定义抽头功率：

$${\tilde{\sigma }}_l^2=\exp \left(-\frac{l}{{\tau }_{\text{rms}}}\right),l=0,1,\dots ,L-1\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中 ${\tau }_{\text{rms}}$ 为均方根时延扩展，本文取 ${\tau }_{\text{rms}}=L/3$，使得最后一条路径功率约为第一条的 $e^{-3}\approx 5\%$。为保证总信道功率恒定为 1，进行归一化：

$${\sigma }_l^2=\frac{{\tilde{\sigma }}_l^2}{{\sum }_{i=0}^{L-1}{\tilde{\sigma }}_i^2}\text{\hspace{1em}(7)}$$

最终，信道频率响应通过对时域抽头补零后做 FFT 得到：

$$H[m]=\sum _{l=0}^{L-1}{h}_l\cdot e^{-j2\pi ml/N},m=0,1,\dots ,N-1\text{\hspace{1em}(8)}$$

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2.3 导频辅助信道估计与插值

2.3.1 最小二乘（LS）估计

接收端在导频子载波 $m\in \mathcal{P}$ 处，利用已知导频 $P_m$ 进行最小二乘估计：

$${\hat{H}}_{\text{LS}}[m]=\frac{Y[m]}{P[m]}=H[m]+\frac{W[m]}{P[m]}\text{\hspace{1em}(9)}$$

当 $P[m]=1$ 时，${\hat{H}}_{\text{LS}}[m]=Y[m]$。LS 估计无偏且实现简单，但无噪声抑制能力。

2.3.2 实虚部分别线性插值

获得 $K$ 个导频点的信道估计后，需重构全部 $N$ 个子载波的信道响应。本文采用对实部和虚部分别进行线性插值的方法，避免复数直接插值可能引发的相位缠绕问题。

设导频位置为 $p_0<p_1<\cdots <p_{K-1}$，对应估计值为 ${\hat{H}}_p[p_i]=a_i+j{b}_i$。对于任意目标子载波 $m$（$p_i\le m\le p_{i+1}$），插值公式为：

ℜ { H ^ [ m ] } = a i + a i + 1 − a i p i + 1 − p i ⋅ ( m − p i ) (10a) \Re\{\hat{H}[m]\} = a_i + \frac{a_{i+1} - a_i}{p_{i+1} - p_i} \cdot (m - p_i) \tag{10a} ℜ{H^[m]}=ai​+pi+1​−pi​ai+1​−ai​​⋅(m−pi​)(10a)

ℑ { H ^ [ m ] } = b i + b i + 1 − b i p i + 1 − p i ⋅ ( m − p i ) (10b) \Im\{\hat{H}[m]\} = b_i + \frac{b_{i+1} - b_i}{p_{i+1} - p_i} \cdot (m - p_i) \tag{10b} ℑ{H^[m]}=bi​+pi+1​−pi​bi+1​−bi​​⋅(m−pi​)(10b)

对于边缘区域（$m<p_0$ 或 $m>p_{K-1}$），采用最近邻外推。

2.3.3 数据均衡与 BER 计算

得到全频带信道估计 $\hat{H}[m]$ 后，对数据子载波进行迫零均衡：

$$\hat{D}[m]=\frac{Y[m]}{\hat{H}[m]+ϵ},m\in \mathcal{D},ϵ=10^{-12}\text{\hspace{1em}(11)}$$

均衡后的符号经 QPSK 硬判决解调恢复比特，并与原始比特比较计算误比特率（BER）。

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2.4 均匀导频的最优性理论解释

假设信道频率响应 $H(f)$ 在频域上是带限的，其最大变化率由信道的相干带宽 (Coherence Bandwidth) $B_c$ 决定。根据Nyquist 采样定理，为了无失真地重建 $H(f)$，导频在频域的采样间隔 $\Delta f$ 必须满足：

$$\Delta f\le \frac{B_c}{2}$$

当导频数量 $K$ 固定时，均匀导频使 $\Delta f$ 在全局上取得最小可能的最大间隔：

$$\Delta f_{\text{uniform}}=\frac{N}{K}\text{（子载波间隔单位）}$$

而非均匀导频必然存在局部最大间隔 $\Delta f_{\text{max}}>N/K$。由奈奎斯特 (Nyquist) 准则可知，这会导致高频分量混叠，产生不可恢复的插值误差。均匀导频在最坏情况下的插值误差最小，即满足**最小化最大误差 (Minimax)**准则。这是均匀导频在数学上的第一重最优性。

2.5 既然均匀导频已经最优，为什么还要研究进化算法？

2.5.1 理论最优的前提是“无约束”

本节（第 2.7 节）的最优性结论成立，依赖于三个前提：

1. 信道严格满足广义平稳（WSS），即统计特性不随频率变化。
2. 导频位置无任何硬件或标准约束（如禁用子载波、DC 子载波、保护频带）。
3. 唯一的性能指标是 MSE，不考虑 BER、PAPR、频谱泄露等系统级指标。

当这些前提被打破时，均匀导频的最优性不再成立。

2.5.2 进化算法在“约束场景”中依然有效

在实际 OFDM 系统中，以下硬约束普遍存在，且均匀导频无法同时满足：

• 禁用子载波（Notched Carriers）：某些频段被强干扰占用或留作保护间隔，导频必须避开。
• DC 子载波：零频处通常不传输数据，均匀导频若落在 DC 上就必须强制搬移。
• 非连续频谱（Carrier Aggregation）：多段不连续频谱聚合时，导频无法跨频段保持均匀。

在这些场景下，均匀导频不存在，而进化算法是寻找最优可行图案的可行工具。

2.6 导频位置优化问题的数学形式化

2.6.1 组合优化问题定义

在 $N$ 个子载波中选择 $K$ 个导频位置，本质是一个组合优化问题。其数学形式为：

min ⁡ P ⊂ { 0 , … , N − 1 } , ∣ P ∣ = K Φ ( P ) (12) \min_{\mathcal{P} \subset \{0, \dots, N-1\}, |\mathcal{P}|=K} \Phi(\mathcal{P}) \tag{12} P⊂{0,…,N−1},∣P∣=Kmin​Φ(P)(12)

解空间规模为：

$$|\Omega |=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{K}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{64}{8}\right)\approx 4.426\times 10^9\text{\hspace{1em}(13)}$$

该问题是非凸、离散、多模态的黑盒优化问题，目标函数 $\Phi (\mathcal{P})$ 无解析梯度，且每次评估需进行蒙特卡洛仿真，计算代价高昂，因此传统梯度下降法不适用。

2.6.2 目标函数 $\Phi (\mathcal{P})$ 的显式定义

本文采用两种目标函数变体，分别对应不同的优化策略。这是整个优化问题的核心定义。

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变体一：基线目标函数（用于 GA / PSO / GWO）

$${\Phi }_{\text{base}}(\mathcal{P})=\underset{\text{平均信道估计均方误差}}{\underbrace{\frac{1}{N_s{N}_c}\sum _{s=1}^{N_s}\sum _{c=1}^{N_c}{\text{MSE}}_{s,c}(\mathcal{P})}}+\underset{\text{几何正则化项}}{\underbrace{{\lambda }_s\cdot {\Psi }_{\text{spacing}}(\mathcal{P})+{\lambda }_e\cdot {\Psi }_{\text{edge}}(\mathcal{P})}}\text{\hspace{1em}(14)}$$

其中各个符号的含义如下：

• ${\text{MSE}}_{s,c}(\mathcal{P})$ 是在训练信噪比集合 SNR train = { 5 , 10 , 15 } \text{SNR}_{\text{train}} = \{5, 10, 15\} SNRtrain​={5,10,15} dB 和信道长度集合 { 4 , 8 , 12 } \{4, 8, 12\} {4,8,12} 下，通过蒙特卡洛仿真获得的信道估计均方误差。
• ${\Psi }_{\text{spacing}}(\mathcal{P})$ 为间距惩罚函数（定义见下文式 16），衡量导频分布的均匀性。
• ${\Psi }_{\text{edge}}(\mathcal{P})$ 为边缘惩罚函数（定义见下文式 17），衡量导频对频谱两端的覆盖程度。
• 正则系数 ${\lambda }_s=0.04$，${\lambda }_e=0.05$，通过预实验确定，使正则项贡献约为 MSE 数量级的 5%~10%。

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变体二：加权目标函数（用于 RW‑EPS 专用）

在基线基础上引入 SNR 加权和 BER 项，引导搜索同时优化估计精度与误码性能：

$$\begin{array}{rl}{\Phi }_{\text{weighted}}(\mathcal{P})=\frac{1}{N_s{N}_c}\sum _{s=1}^{N_s}\sum _{c=1}^{N_c}[& \left(1+\frac{{\text{SNR}}_s}{\max {\text{SNR}}_{\text{train}}}\right)\cdot {\text{MSE}}_{s,c}(\mathcal{P})\\ & +{\lambda }_b\cdot {\text{BER}}_{s,c}(\mathcal{P})]\\ & +{\lambda }_s{\Psi }_{\text{spacing}}(\mathcal{P})+{\lambda }_e{\Psi }_{\text{edge}}(\mathcal{P})\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$

其中 ${\lambda }_b=0.8$ 为 BER 项的权重。SNR 加权因子 $(1+{\text{SNR}}_s/\max {\text{SNR}}_{\text{train}})$ 使得在高 SNR 下 MSE 的权重更大，引导算法在“好信道”下也精益求精。

2.6.3 几何正则项的数学定义

• 间距惩罚（衡量导频均匀性）：

$${\Psi }_{\text{spacing}}(\mathcal{P})=\frac{\text{std}(\Delta p)}{\text{mean}(\Delta p)+ϵ},\Delta p_i=p_{i+1}-p_i,ϵ=10^{-12}\text{\hspace{1em}(16)}$$

均匀分布时 ${\Psi }_{\text{spacing}}\approx 0$，聚集分布时惩罚较大。

• 边缘惩罚（衡量频谱两端覆盖程度）：

$${\Psi }_{\text{edge}}(\mathcal{P})=\frac{p_0}{N}+\frac{N-1-p_{K-1}}{N}\text{\hspace{1em}(17)}$$

导频越靠近两端，惩罚越小。

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2.7 进化优化算法

目标函数 $\Phi (\mathcal{P})$ 定义在离散组合空间上，且评估代价高。本文采用三种群体智能算法进行搜索，它们均工作在连续空间，通过连续编码 + 排序映射策略解码为导频集合。

2.7.1 连续编码与解码策略

每个个体用一个 $N$ 维连续向量 $\mathbf{x}=[x_0,x_1,\dots ,x_{N-1}{]}^T\in [0,1{]}^N$ 表示。解码时取 $\mathbf{x}$ 中最大的 $K$ 个分量对应的索引作为导频集合：

$$\mathcal{P}=\text{argsort}(\mathbf{x})[-K:]\text{\hspace{1em}(18)}$$

该策略保证总能选出恰好 $K$ 个不同导频。

2.7.2 遗传算法（GA）

• 种群初始化：随机生成 $M=8$ 个连续向量。
• 选择：精英保留（最优 2 个直接进入下一代）+ 锦标赛选择。
• 交叉：从两个父代的导频集合中各取一半（按连续值排序），合并去重后补全至 $K$ 个。
• 变异：以概率 0.35 随机替换一个导频位置。
• 迭代：共 8 代。

2.7.3 粒子群优化（PSO）

每个粒子记录自身最优位置 ${\mathbf{pbest}}_i$ 和全局最优 $\mathbf{gbest}$。速度与位置更新公式为：

$${\mathbf{v}}_i^{t+1}=w^t{\mathbf{v}}_i^t+c_1{r}_1({\mathbf{pbest}}_i-{\mathbf{x}}_i^t)+c_2{r}_2(\mathbf{gbest}-{\mathbf{x}}_i^t)\text{\hspace{1em}(19)}$$

$${\mathbf{x}}_i^{t+1}={\mathbf{x}}_i^t+{\mathbf{v}}_i^{t+1}\text{\hspace{1em}(20)}$$

其中 $c_1=c_2=1.5$，惯性权重 $w^t=0.8-0.4\cdot (t/G)$ 从 0.8 线性递减至 0.4。位置裁剪至 $[0,1]$。

2.7.4 灰狼优化（GWO）

社会等级：适应度最优者为 $\alpha$，次优 $\beta$，第三 $\delta$。包围猎物的数学模型为：

$$\mathbf{D}=|\mathbf{C}\cdot {\mathbf{X}}_{\text{leader}}-\mathbf{X}|\text{\hspace{1em}(21)}$$

$${\mathbf{X}}_{\text{new}}={\mathbf{X}}_{\text{leader}}-\mathbf{A}\cdot \mathbf{D}\text{\hspace{1em}(22)}$$

其中 $\mathbf{A}=2a{\mathbf{r}}_1-a$，$\mathbf{C}=2{\mathbf{r}}_2$，$a$ 从 2 线性递减到 0。每只狼根据 $\alpha ,\beta ,\delta$ 三头狼的位置平均更新：

$${\mathbf{X}}^{t+1}=\frac{{\mathbf{X}}_1+{\mathbf{X}}_2+{\mathbf{X}}_3}{3}\text{\hspace{1em}(23)}$$

GWO 通过 $|\mathbf{A}|$ 自动切换探索与开发，通常收敛较快。

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2.8 评估与统计方法

2.8.1 公共随机数 (CRN)

为了公平比较不同导频图案的性能差异，评估阶段采用公共随机数技术：对于每个(选择种子、评估种子、SNR、信道长度)四元组，所有方法使用完全相同的随机种子生成信道和噪声。这使不同方法的 MSE 估计值正相关，从而减小配对比较的方差，提高统计灵敏度。

2.8.2 性能指标

• 信道估计均方误差（MSE）：

$$\text{MSE}=\frac{1}{N}\sum _{m=0}^{N-1}|\hat{H}[m]-H[m]{|}^2\text{\hspace{1em}(24)}$$

• 误比特率（BER）：错误比特数与总发送比特数之比。

每个条件进行 40 次独立试验（不同信道实现），计算均值及 95% 置信区间（正态近似）。

2.8.3 配对统计检验

针对每种方法与 Uniform 的 MSE 差异 $d_i={\text{MSE}}_{\text{Uniform},i}-{\text{MSE}}_{\text{Method},i}$，计算均值 $\bar{d}$ 和标准误 ${\text{SE}}_d$。采用双尾正态近似检验原假设 $\bar{d}=0$：

$$p=2\cdot \left(1-\Phi \left(\frac{|\bar{d}|}{{\text{SE}}_d}\right)\right)\text{\hspace{1em}(25)}$$

若 $p<0.05$，则认为改进具有统计显著性。

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至此，完整的理论基础已建立。下一章将基于此框架进行仿真实验，并对结果进行详细分析。

3. 仿真与结果分析

3.1 仿真参数配置

参数	取值
子载波数 N	64
导频数 K	8
调制方式	QPSK
信道多径数 L	4, 8, 12
SNR 范围	0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 dB
训练 SNR	5, 10, 15 dB
训练蒙特卡洛次数	5
评估蒙特卡洛次数	40
种群大小	8
进化代数	8
正则参数（间距惩罚）λ_s	0.04
正则参数（边缘惩罚）λ_e	0.05
BER 权重 λ_b	0.8

3.2 导频图案可视化

图中横轴为 0~63 的子载波索引，纵轴为 7 种方法。每个“|”标记代表一个导频所在的位置。

可以看到：

• Uniform：导频严格等间隔分布在子载波 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63 处。但第 0 个和第 63 个子载波刚好位于频谱两端，覆盖良好。
• EdgeUniform：强制在 0 和 63 放置导频，内部在 9, 18, 27, 36, 45, 54 附近均匀分布，与 Uniform 非常接近，但两端更确定。
• Random：导频位置完全随机，出现明显的聚集现象和较大空缺，这将严重影响插值精度。
• 进化算法：其他进化优化后的图案均趋于分散，避免了 Random 的聚集问题。

3.3 信道估计 MSE 性能分析

3.3.1 MSE 随 SNR 的变化

3.3.2 MSE 随信道长度的变化

3.5 与均匀导频的配对统计检验

方法	均值差异（Uniform − 该方法MSE）	标准误	p值	相对变化（%）
EdgeUniform	-0.0669	0.00364	2.07×10⁻⁷⁵	-28.55
Random	-0.1322	0.00646	3.46×10⁻⁹³	-56.44
GA	-0.0154	0.00214	6.23×10⁻¹³	-6.57
PSO	-0.0399	0.00247	1.87×10⁻⁵⁸	-17.02
GWO	-0.0437	0.00279	2.33×10⁻⁵⁵	-18.66
RW-EPS	-0.0360	0.00244	2.92×10⁻⁴⁹	-15.37

3.6 进化过程收敛性分析

综上所述，在理想无约束的广义平稳信道中，均匀导频凭借采样定理下的最小化最大插值误差特性，在 MSE 和 BER 上均取得不可超越的最优性能。以 GA 为代表的进化算法，在最好情况下仅以 6.57% 的差距成为最接近均匀导频的方案，验证了其在无约束环境下亦能逼近理论最优的能力。然而，考虑到现实世界中频谱碎片、多目标权衡和模型失配等均匀导频无法适用的约束场景，进化算法依然具备不可替代的实用价值——其意义不在于挑战均匀导频的理论最优性，而在于为复杂工程约束下的导频设计提供了系统化的通用求解框架。

部分代码：

#!/usr/bin/env python3
from __future__ import annotations
import json
import math
import time
from pathlib import Path
import numpy as np
import pandas as pd
from evo_pilot_ofdm.fitness import make_fitness
from evo_pilot_ofdm.pilots import uniform_pilots, edge_uniform_pilots, random_pilots
from evo_pilot_ofdm.optimizers import ga_select, pso_select, gwo_select
from evo_pilot_ofdm.simulator import evaluate_pattern

ROOT = Path(__file__).resolve().parents[1]
RESULTS = ROOT / "results"
FIGURES = ROOT / "figures"
TABLES = ROOT / "tables"
for d in (RESULTS, FIGURES, TABLES):
    d.mkdir(exist_ok=True)

METHOD_ORDER = ["Uniform", "EdgeUniform", "Random", "GA", "PSO", "GWO", "RW-EPS"]
SNR_VALUES = [0, 5, 10, 15, 20, 25, 30]
CHANNEL_LENS = [4, 8, 12]
SELECTION_SEEDS = list(range(3))
EVALUATION_SEEDS = list(range(3))
N_SUBCARRIERS = 64
N_PILOTS = 8
TRAIN_TRIALS = 5
EVAL_TRIALS = 40
POP_SIZE = 8
ITERATIONS = 8
LAMBDA_BER = 0.8
ALPHA_SPACING = 0.04
BETA_EDGE = 0.05


def select_patterns_for_seed(seed: int, n=N_SUBCARRIERS, k=N_PILOTS):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    patterns = {
        "Uniform": uniform_pilots(n, k),
        "EdgeUniform": edge_uniform_pilots(n, k),
        "Random": random_pilots(n, k, rng),
    }
    histories = []
    selection_rows = []
    base_fit = make_fitness(
        n_subcarriers=n,
        n_trials=TRAIN_TRIALS,
        seed=10000 + seed,
        weighted=False,
        lambda_ber=LAMBDA_BER,
        alpha_spacing=ALPHA_SPACING,
        beta_edge=BETA_EDGE,
    )
    prop_fit = make_fitness(
        n_subcarriers=n,
        n_trials=TRAIN_TRIALS,
        seed=10000 + seed,
        weighted=True,
        lambda_ber=LAMBDA_BER,
        alpha_spacing=ALPHA_SPACING,
        beta_edge=BETA_EDGE,
    )
    algs = [
        ("GA", ga_select, base_fit, "MSE+geometry"),
        ("PSO", pso_select, base_fit, "MSE+geometry"),
        ("GWO", gwo_select, base_fit, "MSE+geometry"),
        ("RW-EPS", gwo_select, prop_fit, "weighted MSE+BER+geometry"),
    ]
    for name, fn, fit, objective in algs:
        t0 = time.perf_counter()
        p, h = fn(fit, n, k, pop_size=POP_SIZE, iters=ITERATIONS, seed=20000 + 131 * seed + len(name))
        runtime = time.perf_counter() - t0
        patterns[name] = p
        selection_rows.append({
            "selection_seed": seed,
            "method": name,
            "objective": objective,
            "selection_runtime_s": runtime,
            "pattern": " ".join(str(int(x)) for x in p),
        })
        denom = h[0] if abs(h[0]) > 1e-12 else 1.0
        for i, val in enumerate(h):
            histories.append({
                "selection_seed": seed,
                "method": name,
                "iteration": i,
                "fitness": float(val),
                "relative_fitness": float(val / denom),
                "selection_runtime_s": runtime,
            })
    return patterns, histories, selection_rows


def ci95(series: pd.Series) -> float:
    vals = series.dropna().to_numpy(dtype=float)
    if vals.size <= 1:
        return 0.0
    return float(1.96 * vals.std(ddof=1) / math.sqrt(vals.size))


def normal_p_from_mean_se(mean: float, se: float) -> float:
    if se <= 0:
        return 0.0 if abs(mean) > 0 else 1.0
    z = abs(mean / se)
    return float(math.erfc(z / math.sqrt(2.0)))


def main():
    all_patterns = {}
    history_rows = []
    selection_rows = []
    rows = []
    for sel_seed in SELECTION_SEEDS:
        patterns, hrows, srows = select_patterns_for_seed(sel_seed)
        all_patterns[str(sel_seed)] = {m: [int(x) for x in p] for m, p in patterns.items()}
        history_rows.extend(hrows)
        selection_rows.extend(srows)
        for snr in SNR_VALUES:
            for clen in CHANNEL_LENS:
                for eval_seed in EVALUATION_SEEDS:
                    shared_seed = 700000 + 10000 * sel_seed + 1000 * eval_seed + 17 * snr + clen
                    for method in METHOD_ORDER:
                        t0 = time.perf_counter()
                        out = evaluate_pattern(
                            patterns[method],
                            n_trials=EVAL_TRIALS,
                            n_subcarriers=N_SUBCARRIERS,
                            snr_db=snr,
                            channel_len=clen,
                            seed=shared_seed,
                        )
                        runtime = time.perf_counter() - t0
                        rows.append({
                            "selection_seed": sel_seed,
                            "evaluation_seed": eval_seed,
                            "method": method,
                            "snr_db": snr,
                            "channel_len": clen,
                            "ber": out["ber"],
                            "mse": out["mse"],
                            "eval_runtime_s": runtime,
                            "n_subcarriers": N_SUBCARRIERS,
                            "n_pilots": N_PILOTS,
                            "pilot_overhead": N_PILOTS / N_SUBCARRIERS,
                        })
    (RESULTS / "patterns_by_seed.json").write_text(json.dumps(all_patterns, indent=2))
    (RESULTS / "patterns.json").write_text(json.dumps(all_patterns["0"], indent=2))
    hist = pd.DataFrame(history_rows)
    hist.to_csv(RESULTS / "convergence.csv", index=False)
    sel = pd.DataFrame(selection_rows)
    sel.to_csv(RESULTS / "selection_runtime.csv", index=False)
    df = pd.DataFrame(rows)
    df.to_csv(RESULTS / "ofdm_results.csv", index=False)

    summ = df.groupby("method").agg(
        mean_ber=("ber", "mean"),
        ci95_ber=("ber", ci95),
        mean_mse=("mse", "mean"),
        ci95_mse=("mse", ci95),
        mean_eval_runtime_s=("eval_runtime_s", "mean"),
    ).reset_index()
    selection_time = sel.groupby("method").agg(mean_selection_time_s=("selection_runtime_s", "mean")).reset_index()
    summ = summ.merge(selection_time, on="method", how="left")
    summ["mean_selection_time_s"] = summ["mean_selection_time_s"].fillna(0.0)
    summ["method"] = pd.Categorical(summ["method"], categories=METHOD_ORDER, ordered=True)
    summ = summ.sort_values("mean_mse").reset_index(drop=True)
    summ.to_csv(TABLES / "summary.csv", index=False)

    ch = df.groupby(["method", "channel_len"]).agg(mean_mse=("mse", "mean"), ci95_mse=("mse", ci95), mean_ber=("ber", "mean")).reset_index()
    ch.to_csv(TABLES / "channel_breakdown.csv", index=False)

    # Paired normal-approximation tests on per-block MSE differences versus uniform.
    base = df[df.method == "Uniform"][["selection_seed", "evaluation_seed", "snr_db", "channel_len", "mse"]].rename(columns={"mse": "uniform_mse"})
    tests = []
    for method in METHOD_ORDER:
        if method == "Uniform":
            continue
        cur = df[df.method == method][["selection_seed", "evaluation_seed", "snr_db", "channel_len", "mse"]]
        merged = cur.merge(base, on=["selection_seed", "evaluation_seed", "snr_db", "channel_len"])
        diff = merged["uniform_mse"] - merged["mse"]
        mean_diff = float(diff.mean())
        se = float(diff.std(ddof=1) / math.sqrt(diff.size))
        tests.append({
            "method": method,
            "mean_uniform_minus_method_mse": mean_diff,
            "se": se,
            "normal_approx_p_two_sided": normal_p_from_mean_se(mean_diff, se),
            "relative_mse_change_vs_uniform_percent": 100.0 * mean_diff / float(base["uniform_mse"].mean()),
        })
    pd.DataFrame(tests).to_csv(TABLES / "paired_tests.csv", index=False)

    table = summ.copy()
    table["mean_ber"] = table.apply(lambda r: f'{r.mean_ber:.4f} $\\pm$ {r.ci95_ber:.4f}', axis=1)
    table["mean_mse"] = table.apply(lambda r: f'{r.mean_mse:.4e} $\\pm$ {r.ci95_mse:.1e}', axis=1)
    table["mean_selection_time_s"] = table["mean_selection_time_s"].map(lambda x: f"{x:.2f}")
    table = table[["method", "mean_ber", "mean_mse", "mean_selection_time_s"]]
    table.columns = ["Method", "BER", "MSE", "Selection time (s)"]
    (TABLES / "summary.tex").write_text(table.to_latex(index=False, escape=False, column_format="lccc"))
    print(summ)

if __name__ == "__main__":
    main()

4 总结

结果表明，在理想无约束的广义平稳信道中，均匀导频凭借奈奎斯特采样定理具有理论最优性；然而，在存在禁用子载波、非连续频谱等现实约束的场景下，进化算法能够有效搜索出性能优异的导频图案，为复杂工程约束下的导频设计提供了通用求解框架。

公众号有仿真代码，运行结果所见即所得
参考文献：
EvoPilotOFDM: Evolutionary Pilot Selection for Low-Overhead OFDM Channel Estimation