函数

函数的定义

量与量之间的依赖关系可通过数学表达式描述，例如圆的面积与半径的关系：$A=\pi r^2$。

一般地，函数的核心表达式为 $\mathbf{y}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$，其中：

• $\mathbf{x}$：称为自变量，是主动变化的量；
• $\mathbf{y}$：称为因变量，其值由自变量 $x$ 的取值唯一确定。

函数在特定点 $x_0$ 处的函数值表示为：
${\mathbf{y}}_0=\mathbf{y}{|}_{\mathbf{x}={\mathbf{x}}_0}=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)$

注：$\mathbf{f}$ 仅为函数的符号标识，并非固定形式，也可使用 $y=g(x)$、$y=\phi (x)$、$y=\psi (x)$ 等符号表示。

几种函数

1. 分段函数

分段函数是在不同自变量区间上，用不同表达式定义的函数，例如：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x},& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$

2. 反函数

若函数 $y=f(x)$ 中，自变量与因变量的依赖关系可逆（即一个 $y$ 对应唯一 $x$），则可将 $x$ 表示为 $y$ 的函数，称为原函数的反函数。

示例：自由落体运动中，位移 $h$ 与时间 $t$ 的关系为 $h=\frac{1}{2}g{t}^2$（记为 $h=h(t)$），若将时间 $t$ 表示为位移 $h$ 的函数，则反函数为：
$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}(\text{记为 }t=t(h))$$

3. 显函数与隐函数

• 显函数：因变量直接用自变量的表达式表示，形式为 $y=F(x)$，例如 $y=x^2+1$；
• 隐函数：因变量与自变量的关系隐含在方程中，形式为 $F(x,y)=0$，例如 $3x+y-4=0$（可变形为显函数 $y=4-3x$，但部分隐函数无法直接变形）。

函数的几种特性

1. 奇偶性

奇偶性描述函数图像的对称性，需满足定义域关于原点对称：

• 偶函数：满足 $\mathbf{f}(-\mathbf{x})=\mathbf{f}(\mathbf{x})$，图像关于y轴对称，例如 $f(x)=x^2$（验证：$f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$）；
• 奇函数：满足 $\mathbf{f}(-\mathbf{x})=-\mathbf{f}(\mathbf{x})$，图像关于原点对称，例如 $f(x)=x^3$（验证：$f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$）。

2. 周期性

若存在非零常数 $T$，使得对定义域内所有 $x$ 均满足 $\mathbf{f}(\mathbf{x}+\mathbf{T})=\mathbf{f}(\mathbf{x})$，则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 称为函数的周期（通常指最小正周期）。

3. 单调性

单调性描述函数值随自变量的增减趋势，基于区间 $[a,b]$ 定义：

• 单调增加：对任意 $x_1,x_2\in [a,b]$，若 $x_1<x_2$，则 $f(x_1)<f(x_2)$；
• 单调减少：对任意 $x_1,x_2\in [a,b]$，若 $x_1<x_2$，则 $f(x_1)>f(x_2)$。
  

极限

数列极限

1. 数列的定义

按照一定次序排列的一列数：$u_1,u_2,\cdots ,u_n,\cdots$，其中第 $n$ 项 ${\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}$ 称为数列的通项（或一般项），记为 {un}\{u_n\}{un​}。

2. 数列极限的定义

对数列 {un}\{u_n\}{un​}，若当 $n$ 无限增大（记为 $n\to \infty$）时，通项 $u_n$ 无限接近于某个确定的常数 $A$，则称：

• 数列 {un}\{u_n\}{un​} 以 $A$ 为极限（或数列收敛于 $A$），符号表示为 ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=A$ 或 $u_n\to A(n\to \infty )$；
• 若不存在这样的常数 $A$，则称数列 {un}\{u_n\}{un​} 发散。

3. 数列极限的示例

• ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{3^n}=0$（当 $n$ 增大时，$\frac{1}{3^n}$ 无限趋近于 0）；
• ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}=1$（分子分母同除以 $n$，得 $\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$，当 $n\to \infty$ 时 $\frac{1}{n}\to 0$，故极限为 1）；
• ${\lim }_{n\to \infty }{2}^n$ 不存在（当 $n$ 增大时，$2^n$ 无限增大，不趋近于任何常数，数列发散）。

极限的符号表示

极限描述自变量趋近于某一状态时，函数（或数列）的变化趋势，常用趋近符号及含义如下：

符号	含义
$x\to \infty$	自变量 $x$ 的绝对值无限增大
$x\to +\infty$	自变量 $x$ 无限增大（趋近于正无穷）
$x\to -\infty$	自变量 $x$ 无限减小（趋近于负无穷）
$x\to x_0$	自变量 $x$ 从 $x_0$ 的左右两侧无限接近于 $x_0$
$x\to x_0^{+}$	自变量 $x$ 从 $x_0$ 的右侧无限接近于 $x_0$（右极限）
$x\to x_0^{-}$	自变量 $x$ 从 $x_0$ 的左侧无限接近于 $x_0$（左极限）

函数极限的典型示例

1. ${\lim }_{x\to +\infty }{e}^{-x}=0$（当 $x$ 增大时，$e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ 无限趋近于 0）；
2. ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$（当 $|x|$ 增大时，$\frac{1}{x}$ 无限趋近于 0）；
3. ${\lim }_{x\to -\infty }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$（当 $x$ 无限减小时，$\arctan x$ 无限趋近于 $-\frac{\pi }{2}$）。
   

函数在 $x_0$ 处的极限与左右极限

1. 函数在 $x_0$ 处的极限定义

若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内（不含 $x_0$ 本身）有定义，当 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 无限接近于常数 $A$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限，记为 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to x_0)$。

2. 左右极限的定义

• 左极限：函数在 $x_0$ 的左半邻域（$x_0-\delta ,x_0$）内有定义，当 $x\to x_0^{-}$ 时，$f(x)$ 趋近于 $A$，记为 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=A$ 或 $f(x_0-0)=A$；
• 右极限：函数在 $x_0$ 的右半邻域（$x_0,x_0+\delta$）内有定义，当 $x\to x_0^{+}$ 时，$f(x)$ 趋近于 $A$，记为 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$ 或 $f(x_0+0)=A$。

3. 极限存在的充要条件

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 的充要条件是：左极限与右极限均存在且相等，即
$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$$

4. 案例：判断 ${\lim }_{x\to 0}f(x)$ 是否存在

已知分段函数：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ x+1,& x>0\end{array}$$

计算左右极限：

• 右极限：${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x+1)=1$；
• 左极限：${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x-1)=-1$。

因左极限（-1）≠ 右极限（1），故 ${\lim }_{x\to 0}f(x)$ 不存在。

无穷小

1. 无穷小的定义

若当 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$ 等其他趋势）时，函数 $\alpha (x)$ 的极限为 0，即 $\lim \alpha (x)=0$，则称 $\alpha (x)$ 为该趋势下的无穷小量（简称无穷小）。

2. 无穷小的示例

• 当 $x\to \infty$ 时，$\frac{1}{x}$ 是无穷小（因 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$）；
• 当 $x\to 2$ 时，$3x-6$ 是无穷小（因 ${\lim }_{x\to 2}(3x-6)=0$）。

3. 无穷小的基本性质

1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小；
2. 有限个无穷小的乘积仍是无穷小；
3. 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小；
4. 无限个无穷小的和不一定是无穷小（示例如下）：

示例：计算 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots +\frac{n}{n^2}\right)$
$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots +\frac{n}{n^2}\right)& =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}\end{array}$$
该极限为 $\frac{1}{2}$（非 0），故无限个无穷小之和不一定是无穷小。

4. 无穷小的商与极限的关系

• 无穷小的商不一定是无穷小：

  • ${\lim }_{x\to 0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$（商为常数，非无穷小）；
  • ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{2x}=0$（商为无穷小）；
  • ${\lim }_{x\to 0}\frac{2x}{x^2}=\infty$（商为无穷大）。

• 极限与无穷小的等价关系：${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 的充要条件是 $f(x)=A+\alpha (x)$，其中 $\alpha (x)$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷小。

无穷大

1. 无穷大的定义

无穷大不是“很大的数”，而是描述函数的变化趋势：当 $x\to x_0$（或其他趋势）时，$|f(x)|$ 无限增大，则称 $f(x)$ 为该趋势下的无穷大量（简称无穷大），记为 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$ 或 $f(x)\to \infty (x\to x_0)$。

2. 无穷小与无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中：

• 若 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小；
• 若 $f(x)$ 为非零无穷小，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大。

无穷小的比较

设 $\alpha =\alpha (x)$ 和 $\beta =\beta (x)$ 都是 $x\to x_0$ 时的无穷小（即 ${\lim }_{x\to x_0}\alpha =0$，${\lim }_{x\to x_0}\beta =0$），通过比较两者趋近于 0 的“快慢”分类：

• 高阶无穷小：若 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{\beta }{\alpha }=0$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记为 $\beta =o(\alpha )$；
• 低阶无穷小：若 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{\alpha }{\beta }=0$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小；
• 同阶无穷小：若 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{\beta }{\alpha }=C$（$C$ 为非零常数），则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。

函数的连续性

函数连续性的定义

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内（含 $x_0$ 本身）有定义，记自变量的改变量为 $\Delta x=x-x_0$（即 $x=x_0+\Delta x$），相应的函数改变量为 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。

若当 $\Delta x\to 0$ 时，函数改变量 $\Delta y$ 也趋近于 0，即：
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\right]=0$$
则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

函数在 $x_0$ 处连续的条件

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，需同时满足以下 3 个条件：

1. 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义（即 $f(x_0)$ 存在）；
2. 极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在（即左极限 = 右极限）；
3. 极限值等于函数值，即 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

连续性案例：判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性

已知函数：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<0\\ 1,& x=0\\ \frac{\sin x}{x},& x>0\end{array}$$

验证连续条件：

1. 有定义：$f(0)=1$；
2. 极限存在：
   • 左极限：${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+1)=1$；
   • 右极限：${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sin x}{x}=1$；
   • 左极限 = 右极限，故 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=1$；
3. 极限值 = 函数值：${\lim }_{x\to 0}f(x)=1=f(0)$。

综上，$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

函数的间断点

1. 间断点的定义

若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不满足“连续的 3 个条件”，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

2. 间断点的分类

根据左右极限的存在性，间断点分为两类：

• 第一类间断点：当 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 的左极限和右极限均存在；

  • 跳跃间断点：左极限 ≠ 右极限（如前文 $f(x)=\{\begin{array}{l}x-1,x<0\\ 0,x=0\\ x+1,x>0\end{array}$ 在 $x=0$ 处）；
  • 可去间断点：左极限 = 右极限，但极限值 ≠ 函数值（或函数在 $x_0$ 处无定义）。

• 第二类间断点：当 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 的左极限和右极限至少有一个不存在（如无穷间断点、振荡间断点）。

3. 间断点案例：分析 $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$ 的间断点

首先因式分解分母：$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，故函数在 $x=1$ 和 $x=2$ 处无定义，是潜在间断点。

1. 分析 $x=1$ 处：

   • 化简函数：$\frac{x^2-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}$（$x\ne 1$）；
   • 左极限：${\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{x+1}{x-2}=\frac{1+1}{1-2}=-2$；
   • 右极限：${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{x+1}{x-2}=-2$；
   • 左右极限存在且相等，但函数在 $x=1$ 处无定义，故 $x=1$ 是可去间断点。

2. 分析 $x=2$ 处：

   • 左极限：${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{x+1}{x-2}=-\infty$（分母趋近于 0⁻，分子趋近于 3，整体趋近于 $-\infty$）；
   • 右极限：${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x+1}{x-2}=+\infty$（分母趋近于 0⁺，分子趋近于 3，整体趋近于 $+\infty$）；
   • 左右极限均不存在（为无穷大），故 $x=2$ 是第二类间断点（无穷间断点）。

导数

导数的实际背景：瞬时速度

在物理学中，平均速度定义为 $\bar{v}=\frac{\text{路程 }s}{\text{时间 }t}$，但无法描述“瞬时速度”（某一时刻的速度）。

设物体在时刻 $t_0$ 的位置为 $s(t_0)$，在时刻 $t_0+\Delta t$ 的位置为 $s(t_0+\Delta t)$，则：

1. 时间间隔 $\Delta t$ 内的位移：$\Delta s=s(t_0+\Delta t)-s(t_0)$；
2. 时间间隔 $\Delta t$ 内的平均速度：$\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$；
3. 瞬时速度：当 $\Delta t\to 0$ 时，平均速度的极限即为 $t_0$ 时刻的瞬时速度：
   $$v(t_0)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\bar{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$$

导数的定义

从瞬时速度的概念推广，函数的导数描述“瞬时变化率”：

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，当自变量在 $x_0$ 处取得改变量 $\Delta x$（$\Delta x\ne 0$）时，函数取得改变量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。

若平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限存在，即：
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
则称此极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为：
$$f^{\prime }(x_0)\text{或}{y^{\prime }|}_{x=x_0}\text{或}{\frac{dy}{dx}|}_{x=x_0}\text{或}{\frac{df(x)}{dx}|}_{x=x_0}$$

基本导数公式

以下是常见函数的导数公式（$C$ 为常数，$\mu$ 为实数，$a>0$ 且 $a\ne 1$）：

1. $(C{)}^{\prime }=0$（常数的导数为 0）；
2. $(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu \cdot x^{\mu -1}$（幂函数导数）；
3. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$（正弦函数导数）；
4. $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$（余弦函数导数）；
5. $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$（正切函数导数，$\sec x=\frac{1}{\cos x}$）；
6. $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$（余切函数导数，$\csc x=\frac{1}{\sin x}$）；
7. $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\cdot \tan x$（正割函数导数）；
8. $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cdot \cot x$（余割函数导数）；
9. $(a^x{)}^{\prime }=a^x\cdot \ln a$（指数函数导数）；
10. $(e^x{)}^{\prime }=e^x$（自然指数函数导数，$\ln e=1$）；
11. $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\cdot \ln a}$（对数函数导数）；
12. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$（自然对数函数导数，$\ln a=\ln e=1$）；
13. $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$（反正弦函数导数，$x\in (-1,1)$）；
14. $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$（反余弦函数导数，$x\in (-1,1)$）；
15. $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$（反正切函数导数）；
16. $(\text{arccot }x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$（反余切函数导数）。

导数的运算法则

设函数 $u=u(x)$ 和 $v=v(x)$ 均可导，$C$ 为常数，则导数满足以下运算法则：

1. 和差法则：$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$；
2. 乘积法则：$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$；
3. 商的法则：${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }\cdot v-u\cdot v^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$；
4. 常数因子法则：$(C\cdot u{)}^{\prime }=C\cdot u^{\prime }$；
5. 常数除以函数法则：${\left(\frac{C}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{C\cdot v^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$。