一. 相关概念

1. 简单 析取 合取 式

( 1 ) 简单合取式

简单合取式 :

• 1.组成 : 命题变元 ( $p$ ) 或 命题变元否定式 ( $\neg p$ ) ;
• 2.概念 : 有限个 命题变元 或其 否定式 组成的合取式 , 称为 简单合取式 ;
• 3.示例 :
  • ① 单个命题变元 : $p$ ;
  • ② 单个命题变元否定式 : $\neg p$
  • ③ 两个 命题变元 或其否定式 构成的合取式 : $p\wedge \neg q$
  • ④ 三个 命题变元 或其否定式 构成的合取式 : $p\wedge q\wedge r$

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( 2 ) 简单析取式

简单析取式 :

• 1.组成 : 命题变元 ( $p$ ) 或 命题变元否定式 ( $\neg p$ ) ;
• 2.概念 : 有限个 命题变元 或其 否定式 组成的析取式 , 称为 简单析取式 ;
• 3.示例 :
  • ① 单个命题变元 : $p$ ;
  • ② 单个命题变元否定式 : $\neg p$
  • ③ 两个 命题变元 或其否定式 构成的析取式 : $p\vee \neg q$
  • ④ 三个 命题变元 或其否定式 构成的析取式 : $p\vee q\vee r$

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2. 极小项

( 1 ) 极小项 简介

极小项 : 极小项 是 一种 简单合取式 ;

• 1.前提 ( 简单合取式 ) : 含有 $n$ 个 命题变项 的 简单合取式 ;
• 2.命题变项出现次数 : 每个命题变项 均 以 文字 的 形式 在其中出现 , 且 仅出现 一次 ;
• 3.命题变项出现位置 : 第 $i$ ( $1\le i\le n$ ) 个文字出现在 左起 第 $i$ 个位置 ;
  • $n$ 是指命题变项个数 ;
• 4.极小项总结 : 满足上述三个条件的 简单合取式 , 称为 极小项 ;
• 5.$m_i$ 与 $M_i$ 之间的关系 : ① $\neg m_i⟺M_i$ ② $\neg M_i⟺m_i$

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( 2 ) 极小项 说明

关于 极小项 的 说明 :

• 1.极小项个数 : $n$ 个 命题变元 会 产生 $2^n$ 个 极小项 ;
• 2.互不等值 : $2^n$ 个极小项 均 互不等值 ;
• 3.极小项 : $m_i$ 表示 第 $i$ 个极小项 , 其中 $i$ 是该极小项 成真赋值 的 十进制表示 ;
• 4.极小项名称 : 第 $i$ 个极小项 , 称为 $m_i$ ;

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( 3 ) 两个命题变项 的 极小项

两个命题变项 $p,q$ 的 极小项 :

• 1.先写出 极小项 名称 : 从 $0$ 开始计数 , $m_0,m_1,m_2,m_3$ ;
• 2.然后写出成真赋值 : $0,1,2,3$ 对应的二进制形式 , 即 $00,01,10,11$ ;
• 3.最后写公式 ( 简单合取式 ) :
  • ① 公式形式 : 公式是简单合取式 , $p\wedge q$ , 其中 每个命题变项 $p,q$ 之前都可能带着 否定符号 $\neg$ ;
  • ② 满足成真赋值 : 该公式需要满足 其 上述 $00,01,10,11$ 赋值是成真赋值 , 即根据成真赋值 , 反推出其公式 ;
  • ③ 分析 : 成真赋值 为 $0,0$ , 合取符号 $\wedge$ 两边都要为 真 , 赋值为 0 , 那么 对应命题变项 要带上 $\neg$ 符号 ;
  • ④ 对应 : 凡是 $0$ 赋值的 , 带 $\neg$ 符号 ; 凡是 $1$ 赋值的 , 对应 正常 命题变项 ;

公式	成真赋值	名称
$\neg p\wedge \neg q$	$00$	$m_0$
$\neg p\wedge q$	$01$	$m_1$
$p\wedge \neg q$	$10$	$m_2$
$p\wedge q$	$11$	$m_3$

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( 4 ) 三个命题变项 的 极小项

三个命题变项 $p,q,r$ 的 极小项 :

• 1.先写出 极小项 名称 : 从 $0$ 开始计数 , $m_0,m_1,m_2,m_3,m_4,m_5,m_6,m_7$ ;
• 2.然后写出成真赋值 : $0,1,2,3,4,5,6,7$ 对应的二进制形式 , 即 $000,001,010,011,100,101,110,111$ ;
• 3.最后写公式 ( 简单合取式 ) :
  • ① 公式形式 : 公式是简单合取式 , $p\wedge q\wedge r$ , 其中 每个命题变项 $p,q,r$ 之前都可能带着 否定符号 $\neg$ ;
  • ② 满足成真赋值 : 该公式需要满足 其 上述 $000,001,010,011,100,101,110,111$ 赋值是成真赋值 , 即根据成真赋值 , 反推出其公式 ;
  • ③ 分析 : 成真赋值 为 $0,0,0$ , 三个命题变项都要为 真 , 赋值为 0 , 那么对应命题变项要带上 $\neg$ 符号 ;
  • ④ 对应 : 凡是 $0$ 赋值的 , 带 $\neg$ 符号 ; 凡是 $1$ 赋值的 , 对应 正常 命题变项 ;

公式	成真赋值	名称
$\neg p\wedge \neg q\wedge \neg r$	$000$	$m_0$
$\neg p\wedge \neg q\wedge r$	$001$	$m_1$
$\neg p\wedge q\wedge \neg r$	$010$	$m_2$
$\neg p\wedge q\wedge r$	$011$	$m_3$
$p\wedge \neg q\wedge \neg r$	$100$	$m_4$
$p\wedge \neg q\wedge r$	$101$	$m_5$
$p\wedge q\wedge \neg r$	$110$	$m_6$
$p\wedge q\wedge r$	$111$	$m_7$

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( 5 ) 极小项 成真赋值 公式 名称 之间 的 转化 与 推演

极小项 成真赋值 公式 名称 之间 的 转化 与 推演 :

• 1.成真赋值 到 公式 之间的推演 : 公式 的 成真赋值列出 , 就是成真赋值 ; 根据成真赋值 写出 公式 , 0 对应的 命题变项 带 否定 $\neg$ , 1 对应 正常的命题变项 ;
• 2.名称 到 成真赋值 之间的 推演 : 这个 最简单 , 直接将 下标 写成 二进制形式 即可 ;
• 3.公式 到 名称 之间的 推演 : 直接推演 比较困难 , 必须通过 成真赋值 过渡一下 , 先写出 成真赋值 , 然后将其当做 二进制数 转为 十进制的下标即可 ;

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3. 极大项

( 1 ) 极大项 简介

极大项 : 极大项 是 一种 简单析取式 ;

• 1.前提 ( 简单析取式 ) : 含有 $n$ 个 命题变项 的 简单析取式 ;
• 2.命题变项出现次数 : 每个命题变项 均 以 文字 的 形式 在其中出现 , 且 仅出现 一次 ;
• 3.命题变项出现位置 : 第 $i$ ( $1\le i\le n$ ) 个文字出现在 左起 第 $i$ 个位置 ;
  • $n$ 是指命题变项个数 ;
• 4.极大项总结 : 满足上述三个条件的 简单析取式 , 称为 极大项 ;

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( 2 ) 极大项 说明

关于 极大项 的 说明 :

• 1.极大项个数 : $n$ 个 命题变元 会 产生 $2^n$ 个 极大项 ;
• 2.互不等值 : $2^n$ 个极大项 均 互不等值 ;
• 3.极大项 : $m_i$ 表示 第 $i$ 个极大项 , 其中 $i$ 是该极大项 成假赋值 的 十进制表示 ;
• 4.极大项名称 : 第 $i$ 个极大项 , 称为 $M_i$ ;
• 5.$m_i$ 与 $M_i$ 之间的关系 : ① $\neg m_i⟺M_i$ ② $\neg M_i⟺m_i$

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( 3 ) 两个命题变项的极大项

两个命题变项 $p,q$ 的 极大项 :

• 1.先写出 极大项 名称 : 从 $0$ 开始计数 , $M_0,M_1,M_2,M_3$ ;
• 2.然后写出成假赋值 : $0,1,2,3$ 对应的二进制形式 , 即 $00,01,10,11$ ;
• 3.最后写公式 ( 简单析取式 ) :
  • ① 公式形式 : 公式是简单析取式 , $p\wedge q$ , 其中 每个命题变项 $p,q$ 之前都可能带着 否定符号 $\neg$ ;
  • ② 满足成假赋值 : 该公式需要满足 其 上述 $00,01,10,11$ 赋值是成假赋值 , 即根据成假赋值 , 反推出其公式 ;
  • ③ 分析 : 成假赋值 为 $0,0$ , 合取符号 $\wedge$ 两边都要为 假 , 赋值为 0 , 那么对应的命题变项是 正常的命题变项, 不带否定符号 $\neg$ ;
  • ④ 对应 : 凡是 $1$ 赋值的 , 带 $\neg$ 符号 ; 凡是 $0$ 赋值的 , 对应 正常 命题变项 ;

公式	成假赋值	名称
$p\vee q$	$00$	$M_0$
$p\vee \neg q$	$01$	$M_1$
$\neg p\vee q$	$10$	$M_2$
$\neg p\vee \neg q$	$11$	$M_3$

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( 4 ) 三个命题变项的极大项

三个命题变项 $p,q,r$ 的 极大项 :

• 1.先写出 极大项 名称 : 从 $0$ 开始计数 , $M_0,M_1,M_2,M_3,M_4,M_5,M_6,M_7$ ;
• 2.然后写出成假赋值 : $0,1,2,3,4,5,6,7$ 对应的二进制形式 , 即 $000,001,010,011,100,101,110,111$ ;
• 3.最后写公式 ( 简单析取式 ) :
  • ① 公式形式 : 公式是简单析取式 , $p\wedge q\wedge r$ , 其中 每个命题变项 $p,q,r$ 之前 都 可能 带着 否定符号 $\neg$ ;
  • ② 满足成假赋值 : 该公式需要满足 其 上述 $000,001,010,011,100,101,110,111$ 赋值是成假赋值 , 即根据成真赋值 , 反推出其公式 ;
  • ③ 分析 : 成假赋值 为 $0,0,0$ , 三个命题变项都要为 假 , 赋值为 0 , 那么对应命题变项 是正常的命题变项 , 不带否定符号 $\neg$ ;
  • ④ 对应 : 凡是 $1$ 赋值的 , 带 $\neg$ 符号 ; 凡是 $0$ 赋值的 , 对应 正常 命题变项 ;

公式	成假赋值	名称
$p\vee q\vee r$	$000$	$M_0$
$p\vee q\vee \neg r$	$001$	$M_1$
$p\vee \neg q\vee r$	$010$	$M_2$
$p\vee \neg q\vee \neg r$	$011$	$M_3$
$\neg p\vee q\vee r$	$100$	$M_4$
$\neg p\vee q\vee \neg r$	$101$	$M_5$
$\neg p\vee \neg q\vee r$	$110$	$M_6$
$\neg p\vee \neg q\vee \neg r$	$111$	$M_7$

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( 5 ) 极大项 成假赋值 公式 名称 之间 的 转化 与 推演

极大项 成假赋值 公式 名称 之间 的 转化 与 推演 :

• 1.成假赋值 到 公式 之间的推演 : 公式 的 成假赋值列出 , 就是成假赋值 ; 根据成假赋值 写出 公式 , $1$ 对应的 命题变项 带 否定 $\neg$ , $0$ 对应 正常的命题变项 ;
• 2.名称 到 成假赋值 之间的 推演 : 这个 最简单 , 直接将 下标 写成 二进制形式 即可 ;
• 3.公式 到 名称 之间的 推演 : 直接推演 比较困难 , 必须通过 成假赋值 过渡一下 , 先写出 成假赋值 , 然后将其当做 二进制数 转为 十进制的下标即可 ;

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二. 题目解析

1. 使用等值演算方式求 主析取范式 和 主合取范式

题目 : 使用等值演算方式求 主析取范式 和 主合取范式 ;

• 条件 : $A=(p\to \neg q)\to r$
• 问题 1 : 求 主析取范式 和 主合取 范式 ;

解答 :

① 步骤 一 : 求出一个合取范式 :

$(p\to \neg q)\to r$

( 使用蕴涵等值式 : $A\to B⟺\neg A\vee B$ , 消除 外层的 蕴涵符号 )
$⟺\neg (p\to \neg q)\vee r$

( 使用蕴涵等值式 : $A\to B⟺\neg A\vee B$ , 消除内层的 蕴涵符号 )
$⟺\neg (\neg p\vee \neg q)\vee r$

( 使用德摩根律 : $\neg (A\vee B)⟺\neg A\wedge \neg B$ , 处理 $\neg (\neg p\vee \neg q)$ 部分 )
$⟺(p\wedge q)\vee r$

( 使用交换率 : $A\vee B⟺B\vee A$ )
$⟺r\vee (p\wedge q)$

( 使用分配率 : $A\vee (B\wedge C)⟺(A\vee B)\wedge (A\vee C)$ )
$⟺(r\vee p)\wedge (r\vee q)$

( 使用交换率 : $A\vee B⟺B\vee A$ )
$⟺(p\vee r)\wedge (q\vee r)$

当前状况分析 :

• 1> 合取范式 : 此时 , $(p\vee r)\wedge (q\vee r)$ 是一个合取范式 , 根据该合取范式 求主合取 范式 ;
• 2> 拆分 : 分别将 $(p\vee r)$ 和 $(q\vee r)$ 转为 极大项 ;

② 步骤二 : 将 $(p\vee r)$ 转为 主合取范式 :

$(p\vee r)$

( 使用 零律 : $A\vee 0⟺A$ , 析取式 , 析取一个 $0$ 后 , 其值不变 )
$⟺(p\vee 0\vee r)$

( 使用 矛盾律 : $A\wedge A=0$ , 引入 命题变元 $q$ , 即使用 $A\wedge A$ 替换 式子中的 $0$ )
$⟺(p\vee (q\wedge \neg q)\vee r)$

( 使用交换律 $A\vee B⟺B\vee A$ 和 结合律 $(A\vee B)\vee C⟺A\vee (B\vee C)$ )
$⟺((p\vee r)\vee (q\wedge \neg q))$

( 使用分配律 : $A\vee (B\wedge C)⟺(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$ , 将 $p,q,r$ 都集合到一个析取式中 )
$⟺(p\vee r\vee q)\wedge (p\vee r\vee \neg q)$

( 使用交换律 )
$⟺(p\vee q\vee r)\wedge (p\vee \neg q\vee r)$

根据 极大项 公式 写出对应序号 :

• 1> $(p\vee q\vee r)$ : 成假赋值 $000$ , 是极大项 $M_0$ ;
• 2> $(p\vee \neg q\vee r)$ : 成假赋值 $010$ , 是极大项 $M_2$ ;
• 3> $(p\vee r)$ 对应的 主合取范式是 : $(p\vee q\vee r)\wedge (p\vee \neg q\vee r)⟺M_0\wedge M_2$

③ 步骤三 : 将 $(q\vee r)$ 转为 主合取范式 :

$(q\vee r)$

( 使用 零律 : $A\vee 0⟺A$ , 析取式 , 析取一个 $0$ 后 , 其值不变 )
$⟺(0\vee q\vee r)$

( 使用 矛盾律 : $A\wedge A=0$ , 引入 命题变元 $q$ , 即使用 $A\wedge A$ 替换 式子中的 $0$ )
$⟺((p\wedge \neg p)\vee q\vee r)$

( 使用分配律 : $A\vee (B\wedge C)⟺(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$ , 将 $p,q,r$ 都集合到一个析取式中 )
$⟺(p\vee r\vee q)\wedge (\neg p\vee r\vee q)$

根据 极大项 公式 写出对应序号 :

• 1> $(p\vee q\vee r)$ : 成假赋值 $000$ , 是极大项 $M_0$ ;
• 2> $(\neg p\vee q\vee r)$ : 成假赋值 $100$ , 是极大项 $M_4$ ;
• 3> $(p\vee r)$ 对应的 主合取范式是 : $(p\vee q\vee r)\wedge (\neg p\vee q\vee r)⟺M_0\wedge M_4$

该题目最终结果 :

$(p\to \neg q)$

( 步骤一 的结论 )
$⟺(p\vee r)\wedge (q\vee r)$

( 将步骤二 和 步骤三 结果代入到上式中 )
$⟺(M_0\wedge M_2)\wedge (M_0\wedge M_4)$

( 根据结合律 可以消去括号 将 $M_0\wedge M_0$ 组合起来 )
$⟺(M_0\wedge M_0)\wedge M_2\wedge M_4$

( 根据 幂等律 : $A\wedge A⟺A$ , 可以消去 一个 $M_0$ )
$⟺M_0\wedge M_2\wedge M_4$

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2. 使用 真值表法 求 主析取范式 和 主合取范式

题目 : 使用 真值表法 求 主析取范式 和 主合取范式 ;

• 条件 : $A=(p\to \neg q)\to r$
• 问题 1 : 求 主析取范式 和 主合取 范式 ;

解答 :

① 首先列出其真值表 ( 列的真值表越详细越好 , 算错好几次 )

$pqr$	$(\neg q)$	$(p\to \neg q)$	$A=(p\to \neg q)\to r$	极小项	极大项
$000$	$1$	$1$	$0$	$m_0$	$M_0$
$001$	$1$	$1$	$1$	$m_1$	$M_1$
$010$	$0$	$1$	$0$	$m_2$	$M_2$
$011$	$0$	$1$	$1$	$m_3$	$M_3$
$100$	$1$	$1$	$0$	$m_4$	$M_4$
$101$	$1$	$1$	$1$	$m_5$	$M_5$
$110$	$0$	$0$	$1$	$m_6$	$M_6$
$111$	$0$	$0$	$1$	$m_7$	$M_7$

② 真值表中 取值为 真 的项 对应的 极小项 $m_i$ 构成 主析取范式 ;
$$m_1\vee m_3\vee m_5\vee m_6\vee m_7$$

③ 真值表中 取值为 假 的项 对应的 极大项 $m_i$ 构成 主合取范式 ;
$$M_0\wedge M_2\wedge M_4$$

极小项 - 合取式 - 成真赋值 - 对应条件真值表中的 $1$ - 主析取范式 ( 多个合取式的析取式 )

极大项 - 析取式 - 成假赋值 - 对应条件真值表中的 $0$ - 主合取范式 ( 多个析取式的合取式 )