信号公式汇总之Z变换
z变换：
z变换：
X
（
z
）
=
Z
[
x
(
n
)
]
=
f
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
(
n
)
z
−
n
X（z）=\mathscr{Z}[x(n)]=f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}
X（z）=Z[x(n)]=f(t)=∑n=−∞∞x(n)z−n
逆z变换*：
x
（
n
）
=
1
2
π
j
∮
c
X
(
z
)
z
n
−
1
d
z
x（n）=\frac{ 1 }{2\pi j }\oint _cX(z)z^{n-1}dz
x（n）=2πj1∮cX(z)zn−1dz
单边z变换：
X
（
z
）
=
∑
n
=
0
∞
x
(
n
)
z
−
n
=
x
(
0
)
+
x
(
1
)
z
+
x
(
2
)
z
2
+
.
.
.
X（z）=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n}=x(0)+\frac{x(1)}{z }+\frac{x(2)}{z^2}+...
X（z）=∑n=0∞x(n)z−n=x(0)+zx(1)+z2x(2)+...
常用单边z变换：
1、单位样值信号：
δ
(
n
)
=
{
1
（
n
=
0
）
0
（
n
≠
0
）
δ
(
n
)
\delta (n)=\begin{cases} 1 （n=0）\\ 0 （n\neq0） \end{cases} \delta (n)
δ(n)={1（n=0）0（n̸=0）δ(n)
←
\leftarrow
←
→
1
\rightarrow1
→1
2、单位阶跃信号：
μ
(
n
)
=
{
1
（
n
≥
0
）
0
（
n
<
0
）
μ
(
n
)
\mu (n)=\begin{cases} 1 （n\geq0）\\ 0 （n<0） \end{cases} \mu (n)
μ(n)={1（n≥0）0（n<0）μ(n)
←
\leftarrow
←
→
z
z
−
1
,
∣
z
∣
>
1
\rightarrow\frac{z}{z-1},|z|>1
→z−1z,∣z∣>1
3、矩阵序列：
R
N
(
n
)
=
{
1
（
0
≤
n
≤
N
−
1
）
0
（
n
<
0
,
n
≥
N
）
R_N(n)=\begin{cases} 1 （0 \leq n \leq N-1）\\ 0 （n<0,n \geq N） \end{cases}
RN(n)={1（0≤n≤N−1）0（n<0,n≥N）
4、斜变信号：
x
(
n
)
=
n
μ
(
n
)
x(n)=n\mu(n)
x(n)=nμ(n)
n
μ
(
n
)
n\mu(n)
nμ(n)
←
\leftarrow
←
→
z
(
z
−
1
)
2
,
∣
z
∣
>
1
\rightarrow\frac{ z }{(z-1)^2},|z|>1
→(z−1)2z,∣z∣>1
5、指数信号：
x
(
n
)
=
a
n
μ
(
n
)
x(n)=a^n\mu(n)
x(n)=anμ(n)
a
n
μ
(
n
)
a^n\mu(n)
anμ(n)
←
\leftarrow
←
→
z
z
−
a
,
∣
z
∣
>
∣
a
∣
⇒
{
e
j
ω
0
n
μ
(
n
)
←
→
z
z
−
e
j
ω
0
.
∣
z
∣
>
1
e
−
j
ω
0
n
μ
(
n
)
←
→
z
z
−
e
−
j
ω
0
.
∣
z
∣
>
1
\rightarrow\frac{ z }{z-a},|z|>|a|\Rightarrow\begin{cases} e^{j\omega_0n}\mu(n)\leftarrow\rightarrow\frac{z}{z-e^{j\omega_0}}.|z|>1\\ e^{-j\omega_0n}\mu(n)\leftarrow\rightarrow\frac{z}{z-e^{-j\omega_0}}.|z|>1 \end{cases}
→z−az,∣z∣>∣a∣⇒{ejω0nμ(n)←→z−ejω0z.∣z∣>1e−jω0nμ(n)←→z−e−jω0z.∣z∣>1
6、正弦、余弦序列：
c
o
s
(
ω
0
n
)
μ
(
n
)
=
1
2
(
e
j
ω
0
n
+
e
−
j
ω
0
n
)
μ
(
n
)
cos(\omega_0n)\mu(n)=\frac{ 1 }{2}(e^{j\omega_0n}+e^{-j\omega_0n})\mu(n)
cos(ω0n)μ(n)=21(ejω0n+e−jω0n)μ(n)
←
\leftarrow
←
→
1
2
(
z
z
−
e
j
ω
0
+
\rightarrow \frac{ 1 }{2}(\frac{ z }{z-e^{j\omega_0}}+
→21(z−ejω0z+
z
z
−
e
−
j
ω
0
)
=
z
(
z
−
c
o
s
ω
0
)
z
2
−
2
z
c
o
s
ω
0
+
1
,
∣
z
∣
>
1
\frac{ z }{z-e^{-j\omega_0}})=\frac{ z(z-cos\omega_0) }{z^2-2zcos\omega_0+1},|z|>1
z−e−jω0z)=z2−2zcosω0+1z(z−cosω0),∣z∣>1
s
i
n
(
ω
0
n
)
μ
(
n
)
=
1
2
j
(
e
j
ω
0
n
−
e
−
j
ω
0
n
)
μ
(
n
)
sin(\omega_0n)\mu(n)=\frac{ 1 }{2j}(e^{j\omega_0n}-e^{-j\omega_0n})\mu(n)
sin(ω0n)μ(n)=2j1(ejω0n−e−jω0n)μ(n)
←
\leftarrow
←
→
1
2
j
(
z
z
−
e
j
ω
0
−
\rightarrow \frac{ 1 }{2j}(\frac{ z }{z-e^{j\omega_0}}-
→2j1(z−ejω0z−
z
z
−
e
−
j
ω
0
)
=
z
s
i
n
ω
0
z
2
−
2
z
c
o
s
ω
0
+
1
,
∣
z
∣
>
1
\frac{ z }{z-e^{-j\omega_0}})=\frac{ zsin\omega_0 }{z^2-2zcos\omega_0+1},|z|>1
z−e−jω0z)=z2−2zcosω0+1zsinω0,∣z∣>1
⟹
{
c
o
s
(
π
n
2
)
μ
(
n
)
←
→
z
2
z
2
+
1
,
∣
z
∣
>
1
s
i
n
(
π
n
2
)
μ
(
n
)
←
→
z
z
2
+
1
,
∣
z
∣
>
1
\Longrightarrow\begin{cases} cos(\frac{\pi n}{2})\mu(n) \leftarrow\rightarrow\frac{z^2}{z^2+1},|z|>1\\sin(\frac{\pi n}{2})\mu(n) \leftarrow\rightarrow\frac{z}{z^2+1},|z|>1 \end{cases}
⟹{cos(2πn)μ(n)←→z2+1z2,∣z∣>1sin(2πn)μ(n)←→z2+1z,∣z∣>1
常用性质：
线性：
a
x
(
n
)
+
b
y
(
n
)
ax(n)+by(n)
ax(n)+by(n)
位移：单边：
{
x
（
n
−
m
）
μ
(
n
−
m
)
←
→
X
(
z
)
z
−
m
x
（
n
−
m
）
μ
(
n
)
←
→
z
−
m
[
X
(
z
)
+
∑
r
=
−
m
−
1
x
(
r
)
z
−
r
]
x
（
n
+
m
）
μ
(
n
)
←
→
z
m
[
X
(
z
)
−
∑
r
=
0
m
−
1
x
(
r
)
z
−
r
]
\begin{cases} x（n-m）\mu(n-m)\leftarrow\rightarrow X(z)z^{-m}\\ x（n-m）\mu(n)\leftarrow\rightarrow z^{-m}[X(z)+\sum_{r=-m}^{-1}x(r)z^{-r}] \\x（n+m）\mu(n)\leftarrow\rightarrow z^{m}[X(z)-\sum_{r=0}^{m-1}x(r)z^{-r}] \end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧x（n−m）μ(n−m)←→X(z)z−mx（n−m）μ(n)←→z−m[X(z)+∑r=−m−1x(r)z−r]x（n+m）μ(n)←→zm[X(z)−∑r=0m−1x(r)z−r]
双边：
{
x
（
n
−
m
）
←
→
z
−
m
X
(
z
)
x
（
n
+
m
）
←
→
z
m
X
(
z
)
\begin{cases} x（n-m）\leftarrow\rightarrow z^{-m}X(z)\\ x（n+m）\leftarrow\rightarrow z^{m}X(z) \\ \end{cases}
{x（n−m）←→z−mX(z)x（n+m）←→zmX(z)
常用：
{
x
（
n
−
1
）
μ
(
n
)
←
→
z
−
1
X
(
z
)
+
x
(
−
1
)
x
（
n
−
2
）
μ
(
n
)
←
→
z
−
2
X
(
z
)
+
z
−
1
x
(
−
1
)
+
x
(
−
2
)
\begin{cases} x（n-1）\mu(n)\leftarrow\rightarrow z^{-1}X(z)+x(-1)\\ x（n-2）\mu(n)\leftarrow\rightarrow z^{-2}X(z)+z^{-1}x(-1)+x(-2) \\ \end{cases}
{x（n−1）μ(n)←→z−1X(z)+x(−1)x（n−2）μ(n)←→z−2X(z)+z−1x(−1)+x(−2)
{
x
（
n
+
1
）
μ
(
n
)
←
→
z
X
(
z
)
−
z
x
(
0
)
x
（
n
+
2
）
μ
(
n
)
←
→
z
2
X
(
z
)
−
z
2
x
(
0
)
−
z
x
(
1
)
\begin{cases} x（n+1）\mu(n)\leftarrow\rightarrow zX(z)-zx(0)\\ x（n+2）\mu(n)\leftarrow\rightarrow z^{2}X(z)-z^{2}x(0)-zx(1) \\ \end{cases}
{x（n+1）μ(n)←→zX(z)−zx(0)x（n+2）μ(n)←→z2X(z)−z2x(0)−zx(1)
线性加权（z域微分）：
n
x
(
n
)
←
→
−
z
d
d
z
X
(
z
)
⇒
n
m
x
(
n
)
←
→
[
−
z
d
d
z
]
m
X
(
z
)
nx(n) \leftarrow\rightarrow -z \frac{d}{dz}X(z) \Rightarrow n^{m}x(n)\leftarrow\rightarrow[-z \frac{d}{dz}]^{m}X(z)
nx(n)←→−zdzdX(z)⇒nmx(n)←→[−zdzd]mX(z)
指数加权（z域尺度变换）：
a
n
x
(
n
)
←
→
X
(
z
a
)
(
R
x
1
<
∣
z
a
∣
<
R
x
2
)
⇒
{
a
−
n
x
(
n
)
←
→
X
(
a
z
)
,
R
x
1
<
∣
a
z
∣
<
R
x
2
(
−
1
)
n
x
(
n
)
←
→
X
(
−
z
)
,
R
x
1
<
∣
z
∣
<
R
x
2
a^{n}x(n) \leftarrow\rightarrow X( \frac{z}{a})(R_{x1}<|\frac{z}{a}|<R_{x2 }) \Rightarrow \begin{cases} a^{-n}x(n) \leftarrow\rightarrow X(az), R_{x1}<|az| <R_{x2} \\ (-1)^nx(n) \leftarrow\rightarrow X(-z), R_{x1}<|z| <R_{x2}\end{cases}
anx(n)←→X(az)(Rx1<∣az∣<Rx2)⇒{a−nx(n)←→X(az),Rx1<∣az∣<Rx2(−1)nx(n)←→X(−z),Rx1<∣z∣<Rx2
初值定理：若x(n)为因果序列：
x
（
0
）
=
lim
z
→
∞
X
(
z
)
x（0）=\lim_{z\rightarrow \infty } X(z)
x（0）=limz→∞X(z)
终值定理：若x(n)为因果序列：
lim
n
→
∞
x
(
n
)
=
lim
z
→
1
[
(
z
−
1
)
X
(
z
)
]
\lim_{n\rightarrow \infty } x(n)=\lim_{z\rightarrow 1}[(z-1)X(z)]
limn→∞x(n)=limz→1[(z−1)X(z)]
只
有
当
n
→
∞
时
，
x
(
n
)
收
敛
，
才
可
应
用
终
值
定
理
（
即
X
（
z
）
在
单
位
圆
内
）
只有当n\rightarrow \infty时，x(n)收敛，才可应用终值定理（即X（z）在单位圆内）
只有当n→∞时，x(n)收敛，才可应用终值定理（即X（z）在单位圆内）
时域卷积定理：
x
(
n
)
∗
h
(
n
)
←
→
X
(
z
)
.
H
（
z
）
收
敛
域
为
两
者
重
叠
部
分
x(n)*h(n)\leftarrow\rightarrow X(z).H（z）收敛域为两者重叠部分
x(n)∗h(n)←→X(z).H（z）收敛域为两者重叠部分
收敛域：不同收敛域对应原函数不同，如
{
a
n
μ
(
n
)
←
→
z
z
−
a
,
∣
z
∣
>
∣
a
∣
−
a
n
μ
(
−
n
−
1
)
←
→
z
z
−
a
,
∣
z
∣
<
∣
a
∣
\begin{cases} a^n\mu(n)\leftarrow\rightarrow\frac{z}{z-a},|z|>|a|\\ -a^n\mu(-n-1)\leftarrow\rightarrow\frac{z}{z-a},|z|<|a|\end{cases}
{anμ(n)←→z−az,∣z∣>∣a∣−anμ(−n−1)←→z−az,∣z∣<∣a∣
(1)有限长
n
1
n_1
n1
≤
\leq
≤ n
≤
\leq
≤
n
2
n_2
n2：
n
x
(
n
)
{
(
a
)
:
n
1
<
0
,
n
2
>
0
时
，
0
<
∣
z
∣
<
∞
(
b
)
:
n
2
≤
0
时
，
∣
z
∣
<
∞
(
c
)
:
n
1
≥
0
时
，
0
<
∣
z
∣
nx(n) \begin{cases} (a):n_1<0,n_2>0时，0<|z|<\infty\\ (b):n_2\leq0时，|z|<\infty\\ (c):n_1\geq0时，0<|z|\end{cases}
nx(n)⎩⎪⎨⎪⎧(a):n1<0,n2>0时，0<∣z∣<∞(b):n2≤0时，∣z∣<∞(c):n1≥0时，0<∣z∣
(2)右边序列
n
≥
n
1
n\geq n_1
n≥n1：
{
(
a
)
:
n
1
≥
0
时
，
R
x
1
<
∣
z
∣
(
b
)
:
n
1
<
0
时
，
R
x
1
<
∣
z
∣
<
∞
,
其
中
R
x
1
=
lim
n
→
∞
∣
x
(
n
)
∣
n
\begin{cases} (a):n_1\geq0时，R_{x1}<|z|\\ (b):n_1<0时，R_{x1}<|z|<\infty\end{cases},其中R_{x1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{|x(n)|}
{(a):n1≥0时，Rx1<∣z∣(b):n1<0时，Rx1<∣z∣<∞,其中Rx1=limn→∞n∣x(n)∣
(3)左边序列
n
≤
n
2
n\leq n_2
n≤n2：
{
(
a
)
:
n
2
≤
0
时
，
∣
z
∣
<
R
x
2
(
b
)
:
n
2
>
0
时
，
0
<
∣
z
∣
<
R
x
2
,
其
中
R
x
2
=
1
l
i
m
n
→
∞
∣
x
(
−
n
)
∣
n
\begin{cases} (a):n_2\leq0时，|z|<R_{x2}\\ (b):n_2>0时，0<|z|<R_{x2}\end{cases},其中R_{x2}= \frac {1}{lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{|x(-n)|}}
{(a):n2≤0时，∣z∣<Rx2(b):n2>0时，0<∣z∣<Rx2,其中Rx2=limn→∞n∣x(−n)∣1
(4)双边序列：有X（z）=
∑
n
=
−
∞
−
1
x
(
n
)
z
−
n
+
∑
n
=
0
∞
x
(
n
)
z
−
n
\sum_{n=-\infty}^{-1} x(n)z^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n}
∑n=−∞−1x(n)z−n+∑n=0∞x(n)z−n：
若
R
x
2
<
R
x
1
,
则
X
(
z
)
不
收
敛
；
若
R
x
2
>
R
x
1
,
则
R
x
1
<
∣
z
∣
<
R
x
2
若R_{x2}<R_{x1},则X(z)不收敛；若R_{x2}>R_{x1},则R_{x1}<|z|<R_{x2}
若Rx2<Rx1,则X(z)不收敛；若Rx2>Rx1,则Rx1<∣z∣<Rx2
部分分式展开法：先将
X
(
z
)
z
展
开
，
然
后
每
个
分
式
X
（
z
）
⇒
∑
z
z
−
z
n
,
下
面
常
用
逆
z
变
换
对
：
\frac{X(z)}{z}展开，然后每个分式X（z）\Rightarrow\sum\frac{z}{z-z_{n}},下面常用逆z变换对：
zX(z)展开，然后每个分式X（z）⇒∑z−znz,下面常用逆z变换对：
X
（
z
）
X（z）
X（z） |z|>|a|,即右序列 |z|<|a|,即左序列
z
z
−
1
\frac{z}{z-1}
z−1z
μ
(
n
)
\mu(n)
μ(n)
−
μ
(
−
n
−
1
)
-\mu(-n-1)
−μ(−n−1)
z
(
z
−
1
)
2
\frac{z}{(z-1)^2}
(z−1)2z
n
μ
(
n
)
n\mu(n)
nμ(n)
−
n
μ
(
−
n
−
1
)
-n\mu(-n-1)
−nμ(−n−1)
z
z
−
a
\frac{z}{z-a}
z−az
a
n
μ
(
n
)
a^n\mu(n)
anμ(n)
−
a
n
μ
(
−
n
−
1
)
-a^n\mu(-n-1)
−anμ(−n−1)
z
2
(
z
−
a
)
2
\frac{z^2}{(z-a)^2}
(z−a)2z2
(
n
+
1
)
a
n
μ
(
n
)
(n+1)a^n\mu(n)
(n+1)anμ(n)
−
(
n
+
1
)
a
n
μ
(
−
n
−
1
)
-(n+1)a^n\mu(-n-1)
−(n+1)anμ(−n−1)
z
(
z
−
a
)
2
\frac{z}{(z-a)^2}
(z−a)2z
n
a
n
−
1
μ
(
n
)
na^{n-1}\mu(n)
nan−1μ(n)
−
n
a
n
μ
(
−
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