第六讲幂级数的收敛半径和收敛域

qq_53766976 · 2018-12-02 12:34:08 发布

一，函数项级数

定义： $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)=u_{1}(x)+u_{2}(x)+u_{3}(x)+...+u_{n}(x)+...$ ， $x\in X$
部分和： $s_{n}(x)=u_{1}(x)+u_{2}(x)+u_{3}(x)+...+u_{n}(x)$
收敛点 $x_{0}$ ：使函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x_{0})$ 收敛的点
发散点 $x_{0}$ ：使函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x_{0})$ 发散的点
收敛域：D={ $x\in X\left. \right |$ $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x_{0})$ 收敛}，即所有收敛点的集合
和函数： $s_{x=}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)=\lim_{x\rightarrow \infty }s_{n}(x)$ ， $x\in D$
余项： $r_{n}(x)=s(x)-s_{n}(x)=\sum_{k=n+1}^{\infty }u_{k}(x)$

二，幂级数及其收敛性

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{n}x^{n}+...$
有一个明显的收敛点：x=0
幂级数是否收敛，跟 $a_{n}$ 的形式相关
幂级数的收敛有三种可能：

三，Abel定理

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 在点 $x_{0}\neq 0$ 处收敛，则对任何点x： $\left | x \right |< \left | x_{0} \right |$ ，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 都绝对收敛。如图：
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 在点 $x_{0}\neq 0$ 处发散，则对任何点x： $\left | x \right |> \left | x_{0} \right |$ ，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 都发散。如图：

四，收敛半径

设R是收敛域的上确界
由Abel定理，当 $\left | x \right |< R$ ， $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 绝对收敛，当 $\left | x \right |> R$ ， $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 发散
$\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 的绝对收敛区间：
$\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 的发散区间： $(-\infty ,-R)\cup (R,\infty )$
R即收敛半径，为收敛区间
如果幂级数是 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$ ，则收敛区间是 $(x_{0}-R,x_{0}+R)$
$\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 在端点 $\pm R$ 处敛散性不确定

五，求 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 收敛半径R

设正项级数系数的比值 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left |a_{n+1} \right |}{\left |a_{n} \right |}=\rho$ ，（ $0\leq \rho \leq +\infty$ ）
也可以用正项级数的比值审敛法或根值审敛法求解
若 $0< \rho < +\infty$ ，则 $R=\frac{1}{\rho }$
若 $\rho =0$ ，则 $R=+\infty$ ，处处收敛
若 $\rho =+\infty$ ，则，仅在x=0处收敛
如果幂级数是 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{mn}$ ， $(m> 0)$ ，则 $R=\frac{1}{\sqrt[m]{\rho }}$

六，求 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 的收敛域（讨论 $\pm R$ 处敛散性）

收敛域有四种可能：， $[-R,R)$ ，， $[-R,R]$
将 $\pm R$ 代入 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ ，分别求 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}R^{n}$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(-R)^{n}$ 的敛散性
幂级数只可能在 $\pm R$ 处条件收敛