语音识别MFCC系列（一）——连续信号、傅里叶变换

看了很多傅里叶变换（连续信号和离散信号）的博客，都写的不是很清楚，有些地方可能有误，我在查阅了书籍和大量资料以后，争取能用前后标注一致的公式把相关内容（帕斯瓦尔公式，能量信号，功率信号，能量密度谱，功率频谱等）讲清楚，说正确。最好先看连续信号再看离散信号哦连续信号的请看语音识别MFCC系列（一）——连续信号、傅里叶变换离散信号的请看语音识别MFCC系列（二）——离散信号、离散傅里叶变换...

谁是momo子

5225人浏览 · 2018-11-28 21:13:47

谁是momo子 · 2018-11-28 21:13:47 发布

看了很多傅里叶变换（连续信号和离散信号）的博客，都写的不是很清楚，有些地方可能有误，我在查阅了书籍和大量资料以后，争取能用前后标注一致的公式把相关内容（帕斯瓦尔公式，能量信号，功率信号，能量密度谱，功率频谱等）讲清楚，说正确。最好先看连续信号再看离散信号哦

连续信号的请看语音识别MFCC系列（一）——连续信号、傅里叶变换

离散信号的请看语音识别MFCC系列（二）——离散信号、离散傅里叶变换

本文分别按顺序介绍，如果想弄懂，还是按顺序耐心看下去比较好，不过还是得有点数学功底的啦。

连续周期信号的傅里叶级数
连续非周期信号的傅里叶变换
连续周期信号的傅里叶变换

一、什么是傅里叶变换？

傅里叶变换就是将一个信号波形分为多个不同频率的余弦波形，成为频率分量。每个频率的余弦波形都有其对应的频率、幅值、相位。如下图所示，黑色的是原信号波形，其他颜色的均为频率分量，直线代表该频率分量幅值为0。

二、连续周期信号的傅里叶级数

1. 傅里叶级数用下式表示， $x\left ( t \right )$ 为连续周期信号，周期为 $T_0$ ，可以表示为多个频率分量之和，注意角频率分辨度 $\omega _0= \frac{2 \pi}{T_0}$ ：

$x( t ) = \frac{a _ { 0 }}{2} + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ a _ { n } \cos ( n \omega_0 t ) + b _ { n } \sin \left( n \omega _ { 0 } t \right) \right]$

其中

$\begin{align*} &a _ { 0 } = \frac { 2 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) d t \\ &a _ { n } = \frac { 2 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \cos n \omega_0 t d t \\ &b _ { n } = \frac { 2 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \sin n \omega_0 t d t \end{align*}$

2. 将傅里叶级数换一种表达方式如下：

$x ( t ) = \frac{A_0}{2} + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { n } \cos \left( n \omega _ { 0 } t + \varphi _ { n } \right)$

其中

$\begin{align*} &A_0=a_0 \\ &A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} \\ &\varphi _n=-arctan \frac{b_n}{a_n} \end{align*}$

先引入欧拉公式：

$e ^ { - i \theta } = \cos \theta - i \sin \theta$

那么

$\cos \theta = \frac{e ^ { i \theta } + e ^ { - i \theta }}{2}$

3. 那么引入傅里叶级数的复指数形式：

$\begin{align*}x ( t ) &= \frac{A_0}{2} + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac{A _ { n } }{2}\left [ e ^ { j \left ( n \omega _ { 0 } t +\varphi _ { n } \right ) } + e ^ {- j \left ( n \omega _ { 0 } t +\varphi _ { n } \right ) } \right ]\\ &= \frac{1 }{2}\sum _ { n = -\infty } ^ { \infty } A _ { n } e ^ { j \varphi _ { n }} e ^ { j n \omega _ { 0 } t } =\sum _ { n = -\infty } ^ { \infty } X\left ( n \omega _ { 0 } \right )e ^ { j n \omega _ { 0 } t } \end{align*}$

其中 $X\left ( n \omega _ { 0 } \right )$ 为复傅里叶系数：

$\begin{align*}X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) &=\frac{1 }{2} A _ { n } e ^ { j \varphi _ { n }}= \frac{1 }{2}\left [ A_n \cos \varphi _n + j A_n \sin \varphi _n \right ]= \frac{1 }{2}(a_n-jb_n)\\ &= \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \cos n \omega_0 t d t -j\frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \sin n \omega_0 t d t \\ &= \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) e ^ {- j n \omega _ { 0 } t } d t\end{align*}$

注意，因为 $\cos n \omega_0 t$ 为 $n$ 的偶函数， $X\left ( n \omega _ { 0 } \right )$ 的实轴 $\frac{1 }{2} a _ { n }=\frac {1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \cos n \omega_0 t d t$ 也为 $n$ 的偶函数，同理 $\sin n \omega_0 t$ 为 $n$ 的奇函数， $X\left ( n \omega _ { 0 } \right )$ 的虚轴 $- \frac{1 }{2} b _ { n }=- \frac {1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \sin n \omega_0 t d t$ 也为 $n$ 的奇函数，那么正频率 $X\left ( n \omega _ { 0 } \right )$ 为负频率 $X\left ( -n \omega _ { 0 } \right )$ 的共轭，即 $X\left ( n \omega _ { 0 } \right )=X^*\left ( -n \omega _ { 0 } \right )$ ，这个概念很重要，引申到离散傅里叶变换也很重要。

4. 连续周期信号的频谱

把 $\left | X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) \right | =\frac{1 }{2}A _ { n }$ 随着频率变化的分布称为幅值频谱，为轴对称哦。注意傅里叶系数不等同于频率分量的波形峰值哦，直流分量的傅里叶系数等于该分量的波形峰值，其余频率分量的傅里叶系数等于该分量的波形峰值的一半，这里的负频率只是数学上的一种形式。

5. 连续周期信号的帕斯瓦尔公式

首先，如果把信号 $x\left ( t \right )$ 视为加在 $1\Omega$ 电阻两端的电压或通过的电流，那么电阻上消耗的平均功率为

$\begin{align*}p &=\frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - \frac { T _ { 0 } } { 2 } } ^ { \frac { T _ { 0 } } { 2 } }\left | x ( t ) \right | ^ { 2 }d t \\ &= \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - \frac { T _ { 0 } } { 2 } } ^ { \frac { T _ { 0 } } { 2 } } \left [ \frac{A_0}{2} + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { n } \cos \left( n \omega _ { 0 } t + \varphi _ { n } \right)\right ] ^ { 2 }d t \\ &= \left( \frac { A _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 } A _ { n } ^ { 2 } \\ &= \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left | X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) \right | ^ { 2 } \end{align*}$

平均功率 $p$ 为有限值就是功率信号，很明显连续周期信号为功率信号（能量信号一会儿会介绍）。

连续周期信号的帕斯瓦尔公式就是上式的第一行和第四行，是针对功率的，代表一个周期信号的平均总功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和。

功率频谱（周期信号的，别的功率信号我不知道）就指的是各频率分量的平均功率，即 $\left | X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) \right | ^ { 2 }$ 。

三、连续非周期信号的傅里叶变换

1.连续周期矩阵脉冲信号的傅里叶级数

$X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) = \frac { E _ { \tau } } { T _ { 0 } } \frac { \sin \frac { 1 } { 2 } n \omega _ { 0 } \tau } { \frac { 1 } { 2 } n \omega _ { 0 } \tau }=\frac { E \tau } { T _ { 0 } } S a \left( \frac { n \omega _ { 0 } \tau } { 2 } \right) \quad n = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \cdots$

如上图所知，频谱间隔为 $\omega _0=\frac{2\pi}{T_0}$ ，与 $T_0$ 成反比，第一个过零点为 $n\omega _0 = \frac { 2 \pi } { \tau }$ ，与 $\tau$ 成反比，傅里叶系数的幅值最大值为 $\frac { E \tau } { T _ { 0 } }$ ，与 $T_0$ 成反比。那么当 $T_0$ 变得很大， $\tau$ 不变时， $x\left ( t \right )$ 就变成连续非周期信号，频谱间隔会很小，第一个过零点位置不变，那么频谱会变得很密集，直到变成连续的，但这时傅里叶系数的幅值最大值会非常小。

2. 连续非周期信号的傅里叶变换

为了克服 $T_0$ 对 $X\left ( n \omega _ { 0 } \right )$ 的影响，引入 $T_0X\left ( n \omega _ { 0 } \right )=\frac{2\pi X\left ( n \omega _ { 0 } \right )}{\omega _ { 0 }}$ ，因其含有单位角频率所具有的意义，成为频谱密度函数，简称频谱。注意非周期信号的频谱是乘过 $T_0$ 的。

将 $x\left ( t \right )$ 按周期 $T_0$ 进行周期性延拓为 $\hat { x } ( t )$ ，得到 $\hat { x } ( t )$ 的傅里叶级数：

$\hat { x } ( t ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) e ^ { j n \omega _ { 0 } t }$

$\hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - \frac { T_0 } { 2 } } ^ { \frac { T _ { 0 } } { 2 } } \hat { x } ( t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { j } n \omega _ { 0 } t } \mathrm { d } t$

我们需要：

$T_0 \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) = \int _ { - \frac { T_0 } { 2 } } ^ { \frac { T _ { 0 } } { 2 } } \hat { x } ( t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { j } n \omega _ { 0 } t } \mathrm { d } t$

当 $T _ { 0 } \rightarrow \infty$ 时， $\hat { x } ( t ) \rightarrow x ( t )$ ， $\hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) \rightarrow X \left( n \omega _ { 0 } \right)$ ， $\omega _ { 0 } \rightarrow d \omega$ ， $n w _ { 0 } \rightarrow \omega$ ， $T_0 \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right)$ 成为连续的频谱密度函数，记为 $X ( \omega )$

$X ( \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ( t ) e ^ { - j \omega t } d t$

$x ( t ) = \lim _ { T _ { 0 } \rightarrow \infty } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) e ^ { \mathrm { j } n \omega _ { 0 } t }= \lim _ { T _ { 0 } \rightarrow \infty } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } T _ { 0 } \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) e ^ { \mathrm { j } n w _ { 0 } t } \omega _ { 0 }$

因此

$x ( t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } X ( \omega ) e ^ { \mathrm { j } \omega t } \mathrm { d } \omega$

上述 $\mathscr { F } [ x ( t ) ] = X ( \omega )$ 即为傅里叶变换， $\mathscr { F } ^ { - 1 } [ X ( \omega ) ] = x ( t )$ 即为傅里叶逆变换。

$\begin{align*}x ( t ) &= \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } X ( \omega ) e ^ { \mathrm { j } \omega t } \mathrm { d } \omega= \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | X ( \omega ) | \mathrm { e } ^ { j [ \omega t + \varphi ( \omega ) ] } d \omega\\ &= \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | X ( \omega ) | \cos [ \omega t + \varphi ( \omega ) ] d \omega+ \frac { j } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | X ( \omega ) | \sin [ \omega t + \varphi ( \omega ) ] d \omega \end{align*}$

因为第一部分为偶函数，第二部分为奇函数，所以：

$x ( t ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } | X ( \omega ) | \cos [ \omega t + \varphi ( \omega ) ] d \omega$

表明一个非周期信号包含了频率从零到无限大的一切频率的余弦分量，而各分量的波形峰值 $\frac { 1 } { \pi } | X ( \omega ) | d \omega$ 是无穷小量，因此与周期信号不一样，频谱不能用幅值表示，而用频谱密度函数 $X ( \omega )$ 表示，可看做单位频率的振幅。

3. 能量信号的帕斯瓦尔公式

$\int _ { - \infty} ^ { \infty } \left |x( t ) \right | ^ { 2 } d t =\frac { 1 } { 2\pi }\int _ { - \infty} ^ { \infty }\left | X\left ( \omega \right ) \right | ^ { 2 } d \omega$

证明不写了，就是时域相乘对应频域卷积，然后用上面那些公式硬算。很明显部分连续非周期信号（比如在时域上长度有限的矩阵脉冲信号）为能量信号，就是上面这个式子能求出具体值，极限存在。那么连续能量信号的 $\left | X\left ( \omega \right ) \right | ^ { 2 }$ 或者 $\left | X\left ( \omega \right ) \right | ^ { 2 }/\left ( 2\pi \right )$ 为能量密度谱。和之前的连续功率信号对比一下，功率信号的 $\left | X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) \right | ^ { 2 }$ 为功率频谱哦！

因为能量密度谱是偶函数，所以信号的总能量为

$E=\frac { 1 } { \pi }\int _ {0} ^ { \infty }\left | X\left ( \omega \right ) \right | ^ { 2 } d \omega$

四、连续周期信号的傅里叶变换

$X ( \omega ) =\mathscr { F } [ x ( t ) ] = \mathscr { F } \left[ \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } X \left( n \omega _ { 0 } \right) e ^ { j w _ { 0 } t } \right] = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } X \left( n \omega _ { 0 } \right) \mathscr { F } \left[ e ^ { j n \omega _ { 0 } t } \right]$

$X( \omega)= \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } 2 \pi X \left( n \omega _ { 0 } \right) \delta \left( \omega - n \omega _ { 0 } \right)$

周期信号的傅里叶变换（频谱密度函数，不是傅里叶级数哦），由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于周期信号的各谐波频率 $n\omega _0 \quad n = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \cdots$ 处，其强度为傅里叶级数 $X \left( n \omega _ { 0 } \right)$ 的 $2 \pi$ 倍。