2、一次指数平滑预测

当时间数列无明显的趋势变化，可用一次指数平滑预测。其预测公式为：

　　             y^t+1'=a*yt+(1-a)*yt'     式中，

•    y^t+1'--t+1期的预测值，即本期（t期）的平滑值St ；

•    y^t--t期的实际值；

•    y^t'--t期的预测值，即上期的平滑值S^t-1 。

 

例题：已知某种产品最近15个月的销售量如下表所示：

                                    

用一次指数平滑值预测下个月的销售量y16。

 为了分析加权系数a的不同取值的特点，分别取a=0.1,a=0.3,a=0.5计算一次指数平滑值，并设初始值为最早的三个数据的平均值，：以a = 0.5的一次指数平滑值计算为例，有

 

计算得到下表：

按上表可得  时间15月对应的19.9  26.2  28.1可以分别根据预测公式来预测第16个月的销售量。

以a = 0.5为例：        y₁₆=0.5*29+(1-0.5)*28.1=28.55（万台）

由上述例题可得结论

1）指数平滑法对实际序列具有平滑作用，权系数（平滑系数）a  越小，平滑作用越强，但对实际数据的变动反应较迟缓。

2）在实际序列的线性变动部分，指数平滑值序列出现一定的滞后偏差的程度随着权系数（平滑系数）a  的增大而减少，但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来进行预测仍将存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再进行二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型，故称为二次指数平滑法。

3、二次指数平滑预测

1）  a为加权系数；

2）  指数平滑法对实际序列具有平滑作用，权系数（平滑系数）越小，平滑作用越强，但是对实际数据的变动反映较迟缓；

3）  在实际序列的线性变动部分，指数平滑值序列出现一定的滞后偏差的程度随着权系数(平滑系数)的增大而减少；但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来进行预测仍将存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。

4）  修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再进行二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型，故称为二次指数平滑法。

在一次指数平滑的基础上得二次指数平滑 的计算公式为：                                                                      

 

•     式中： S_t⁽²⁾——第t周期的二次指数平滑值；

•                 S_t⁽¹⁾——第t周期的一次指数平滑值；

•                 S_t-1⁽²⁾——第t-1周期的二次指数平滑值；

•                 a ——加权系数（也称为平滑系数）。

 二次指数平滑法是对一次指数平滑值作再一次指数平滑的方法。它不能单独地进行预测，必须与一次指数平滑法配合，建立预测的数学模型，然后运用数学模型确定预测值。

二次指数平滑数学模型：

例题2：某地1983年至1993年财政入的资料如下，试用指数平滑法求解趋势直线方程并预测1996年的财政收入

4、三次指数平滑预测

       若时间序列的变动呈现出二次曲线趋势，则需要采用三次指数平滑法进行预测。三次指数平滑是在二次指数平滑的基础上再进行一次平滑，其计算公式为：

                                                    

三次指数平滑法的预测模型为：

例4：我国某种耐用消费品1996年至2006年的销售量如表所示，试预测2007、2008年的销售量。

         三次指数平滑的计算表：

                                         

解：通过实际数据序列呈非线性递增趋势，采用三次指数平滑预测方法。解题步骤如下。确定指数平滑的初始值和权系数（平滑系数）a。设一次、二次指数平滑的初始值为最早三个数据的平均值，即

实际数据序列的倾向性变动较明显，权系数（平滑系数）a 不宜取太小，故取a= 0.3。 

根据指数平滑值计算公式依次计算一次、二次、三次指数平滑值：

计算非线性预测模型的系数a_t,b_t,c_t。目前周期数t = 11，将表1.6中的有关数据代入式（1-19）、式（1-20）、式（1-21）后分别得

 

建立非线性预测模型。将各系数代入式（1-18）得

预测2007年和2008年的产品销售量。2007年，其预测超前周期为T = 1；2008年，其预测超前周期为T = 2。代入模型，得预测2007年和2008年的产品销售量。2007年，其预测超前周期为T= 1；2008年，其预测超前周期为T= 2。代入模型，得

 

于是得到2007年的产品销售量的预测值为809万台，2008年的产品销售量的预测值为920万台。预测人员可以根据市场需求因素的变动情况，对上述预测结果进行评价和修正。

5、加权系数a的选择

在指数平滑法中，预测成功的关键是a的选择。a的大小规定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比例。a值愈大，新数据所占的比重就愈大，原预测值所占比重就愈小，反之亦然。

指数平滑法的缺点：

•    （1）对数据的转折点缺乏鉴别能力，但这一点可通过调查预测法或专家预测法加以弥补。

•   （2）长期预测的效果较差，故多用于短期预测。

 指数平滑法的优点：

•    （1）对不同时间的数据的非等权处理较符合实际情况。

•    （2）实用中仅需选择一个模型参数a 即可进行预测，简便易行。

•    （3）具有适应性，也就是说预测模型能自动识别数据模式的变化而加以调整。

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