求一个数阶乘的位数

flyfish 2015-8-15

例如 7！=5040 ,7的阶乘结果是4位数（10进制）

求一个数的位数

1 循环方法

int get_digit_loop(int N)
 {
    int digit = 0;
    do
    {
        digit ++;
    } while ((N /= 10) > 0);
    return digit;
}

2 递归方式

int get_digit_recursion(int N)
{
    int digit = 0;
    digit = N < 10 ? 1 : 1 + get_digit_recursion(N/10);
    return digit;
}

3 math头文件自带的库函数

int get_digit_lib(int N)
{
    int digit = (floor) (log10(N)) + 1;
    return digit;
}

求一个数阶乘的位数
可以直接采用log10求一个数阶乘的位数
N=n!
方法1
$log10(n!)$
$=log10(1*2*3…*n)$
$=log10(1)+log10(2)+…+log10(n)$

log10N表示以10为底，N的对数。缩写是lgN.

natural logarithm 自然对数
natural 英 [‘nætʃ(ə)r(ə)l] 美 [‘nætʃrəl]
logarithm 英 [‘lɒgərɪð(ə)m; -rɪθ-] 美 [‘lɔɡərɪðəm]

方法2
利用斯特林公式
斯特灵公式
Stirling’s approximation
Stirling’s formula

Stirling 英 [‘stə:liŋ]
approximation 英 [ə,prɒksɪ’meɪʃn] 美 [ə’prɑksə’meʃən][数] 近似法；接近；[数] 近似值
formula 英 [‘fɔːmjʊlə] 美 [‘fɔrmjələ][数] 公式，准则；配方；婴儿食

$log10(n!)$
$= log10(sqrt(2 * pi * n)) + n* log10(n / e)$

e 是(mathematical constant)数学常数
e$\approx$2.71828
以e为底的对数叫自然对数（Natural logarithm）
pi也是mathematical constant
Pi $\approx$3.14159265 圆周率
the ratio of a circle’s circumference to its diameter
圆的周长与直径的比值

int digit_stirling(int n)
{
    double PI=acos(double(-1));// PI的值=反余弦函数 -1.0为Pi， 1为0。
    double e=exp(double(1));//e的值
    return floor(log10(sqrt(2*PI*n))+n*log10(n/e))+1;
}