第一章 命题逻辑

命题：能判断真假的陈述句

公式的赋值：给公式A中所有的命题变元指定的一组真值对A的一个赋值。

成真赋值：使公式为真的赋值； 成假赋值：使公式为假的赋值

Q1. 什么是永真式，永假式和可满足式？

（1）若一个命题公式在所有赋值下取值均为真，则称该命题公式为重言式或永真式

（2）若一个命题公式在所有赋值下取值均为假，则称该命题公式为矛盾式或永假式

（3） 若一个命题公式至少存在一组成真赋值，则称该命题公式为可满足式

真值表：公式A在所有赋值下的取值情况列成的表

逻辑等价：如果A，B在其任意赋值下，其真值都相同。那么称公式A，B是逻辑等价，记作A<=>B，（<=> 读作 ”等价“）

置换规则：设f(A) 是含公式A 的命题公式，f(B) 是用公式B置换了 f(A) 中所有的 A 后得到的命题公式，若 B <=> A，则 f(A) <=> f(B);

Q2. 怎样判断两命题公式等值？什么是等值演算？
等值演算：由已知的等值式推演出新的等值式的过程，推演方式便是置换规则
判断两命题公式等值：
（1）由定义判断命题公式A和B是否等值，应判断A<->B是否为重言式，若A<->B的真值表最后一列全为1，则A<->B为重言式，因此A<=>B。
（2）看A经过等值演算能否推演出B。

文字：命题变元及其否定通称为文字，如p，┐p；

简单析取式：仅有有限个文字构成的析取式，如 p v q v r；

简单合取式：仅有有限个文字构成的合取式，如 p ∧ q ∧ r；

析取范式：由有限个简单合取式构成的析取式。如 (p ∧ q) v (q ∧ r);

合取范式：由有限个简单析取式构成的析取式。如 (p v q) ∧ (q v r);

Q3. 什么是极小项，极大项以及主析取范式和主合取范式？
极小项：若在简单合取式中每个命题变项与其 否定有且仅有一个且只出现一次，则这样的简单合取式称为极小项。
极大项：若在简单析取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个且只出现一次，则这样的简单析取式称为极大项。
主析取范式：如果一个命题公式的析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为该命题公式的主析取范式。
主合取范式：如果一个命题公式的合取范式中的简单析取式全是极大项，则称该合取范式为该命题公式的主合取范式。

Q4. 怎样用一个命题公式的主析取范式求主合取范式？
（1）求出该命题公式的主析取范式；
（2）写出以主析取范式中没出现的极小项的角码为角码的极大项；
（3）由这些极大项构成的合取式即为该公式的的主合取范式

Q5.怎样判断一个推理是否正确？
设A1,A2,…,Ak，B为结论。
若(A1∧A2∧…∧Ak)->B为重言式（永真式），则称A1,A2,…,Ak推出结论B的推理正确。

判断命题公式为永真式的三种方法

（1）真值表法

（2）等值演算法

（3）主析取范式法：将表达式转化为主析取范式，若主析取范式包含全部 2的n次方个极小项，则为真

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第二章 谓词逻辑

个体常项：具体或特定的客体，有时用字母a，b，c 指代

个体变项：表示抽象或泛指的个体词，常用x，y，z等表示

个体域：个体变项的取值范围

谓词：描述个体词性性质及个体词之间相互关系的词

项的递归定义：

（1）任意个体常量或个体变量是项

（2）如果 f 是n 元函数符号，t1，t2…tn是项，则f（t1，t2…tn）也是项

（3）只有有限次使用(1)，(2) 生成的符号串才是项

原子公式：若p是n元谓词符号，t1，t2，…，tn是项，则p(t1,t2,…tn)为原子公式

谓词逻辑合式公式（简称合式公式）：

（1）原子公式是合式公式

（2）如A，B是合式公式，则┐A，A ∧ B，A v B等也为合式公式

（3）如A是合式公式，则∀xA， ∃xA 也是合式公式

（4）只有有限次使用（1）（2）（3）生成的符号串才是合式公式

Q6.什么是指导变元，什么是自由出现和约束出现？
在合式公式∀xA和∃xA中，称x为指导变项，A为相应量词的辖域；
在辖域中x的出现称为 x 在公式A中的约束出现，约束出现的变元称为约束变元

自由变元：A中不是约束出现的其他变元称为该变元的自由出现，自由出现的变元称为自由变元

闭式：设A为任意的公式，若A中不含有自由变元，则称A为闭式

Q7.换名规则是什么？
将一个指导变项及其在辖域中所有约束出现替换成公式中没有出现的个体变项符号。

Q8.什么是前束范式？
设A为一谓词公式，如果A具有如下形式：Q₁x₁Q₂x₂…Q_kx_kB
称A为前束范式，其中每个Q_i为∀或∃，B为不含量词的公式。（∀读作全称量词，∃存在量词）
一个公式的前束范式各指导变项应该是不同的，原公式中自由出现的个体变项在前束范式中还应是自由出现的。

第三章 集合的基本概念和运算

（1）集合：一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待时，这个整体就是一个集合

（2）元素：组成集合的个体就是集合的元素

（3）元素之间的关系：互异性、无序性、确定性

（4）集合的表示方法：

①列举法：将集合中的元素一一列出

②描述法：用句子或谓词公式描述元素的属性

③图示法，用文式图给与直观的表示

Q9.什么是幂集？
设A为集合，把A的全体子集构成的集合称作A的幂集，记作P(A)。性质：幂集中元素的个数等于集合中元素个数的2次幂

有序对：由两个元素x和y按一定顺序排列成的二元组叫做有序对，记作<x，y>

笛卡尔积：设A、B为集合，分别在A、B中取一个元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A，B的笛卡尔积，记作A x B

Q10.证明集合恒等式的方法有哪些？
（1）命题演算法（两个方向的包含）
（2）恒等变形法
（3）反证法

第四章 二元关系与函数

Q12.什么是二元关系？
如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记作R。

或：设A、B为集合，如果R⊂AxB，则称R是从A到B的二元关系

Q13. 如何表示二元关系？
集合表达式，关系矩阵，关系图

关系特有的运算：①关系的复合，②关系的逆 ③关系的幂

Q14. 介绍关系的性质。

关系的闭包

给定A中的关系R，通过在R中添加尽可能少的有序对，使R满足自反性，对称性或传递性的R‘，就称R’为R的自反闭包、对称闭包、传递闭包

Q15. 介绍关系的自反（对称，传递）闭包，以及如何求各闭包？
（1）唯一的，包含R的最小的自反（对称，传递）关系；
（2）若R是自反（对称，传递）的，则是R本身；
（3）若R不是自反（对称，传递）的，补上最少序偶使之自反（对称，传递）。
用关系图求闭包：
检查R的关系图，哪一个结点没有环就加上一个环，得到自反闭包；
如果将R的关系图中的单向边全部改成双向边，其他都不变，得到对称闭包；
依次检查R的关系图的每个结点x，把从x出发的长度不超过n的所有路径的终点找到，如果x到这样的终点没有边，就加上一条边，得到传递闭包。

Q16. 什么是集合上的等价关系？并举一个例子。
设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的，对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。
举例：无向图的连通关系是等价关系。

Q17. 什么是等价类和商集?
设R是非空集合A上的等价关系，则A上互相等价的元素构成的A的若干个子集称作等价类。
等价类:
（1）任何等价类都是集合A的非空子集；
（2）在A中任取两个元素，他们的等价类要么相等要么不交
（3）所有等价类的并集就是A

商集：等价类的集合。

Q18. 什么是集合上的偏序关系？并举一个例子。
设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的，反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系。
举例：实数集上的小于等于关系。

Q19. 什么是偏序集，什么是全序集？
偏序集：一个集合A和A上的偏序关系R一起被称作偏序集，记作<A,R>，常用≼表示偏序关系
全序集：设<A,≤>为偏序集，若对A中的任意元素x,y，x和y都可比，则称≤为A上的全序关系，且<A,≤>为全序集。

Q20. 如何描述偏序集？
对于有穷的偏序集<A,≤>可以用哈斯图来描述，实际上哈斯图是简化的关系图，在哈斯图中每个结点表示A中的一个元素，结点位置按他们在偏序中的次序从底向上排列。如果y盖住x，则在x和y之间连一条线。

Q21. 介绍集合的最小元，最大元，极小元，极大元的概念。
（1）若对任意x∈B, 都有b≼x, 则称b为B的最小元；（≼就读小于
（2）若对任意x∈B,都有x≼b, 则称b 为B的最大元；
（3）若对任意x∈B, 满足 x≼ b ⇒ x=b, 则称b为B的极小元；
（4）若对任意x∈B, 满足 b ≼ x ⇒ x=b, 则称b为B的极大元。

Q22. 介绍集合的上界，下界，上确界，下确界的概念。
（1）若对任意x∈B,满足x≼a, 则称 a 为B的上界；
（2）若对任意x∈B,满足a≼x , 则称 a 为B的下界；
（3）若元素a '∈A是B的上界， 元素a∈A是B的任何一个上界， 若均有 a’≼a，则称 a '为B的上确界（最小上界）；
（4）若元素a ‘∈A是B的下界， 元素a∈A是B的任何一个下界， 若均有a≼a’，则称 a ’ 为B的下确界（最大下届）。

函数定义：设集合A，B，f是从A到B的关系，如果对于x∈A，都存在唯一的y∈B，使得<x,y>∈f，则称f是从A到B的函数

Q23. 介绍下列函数的性质：满射，单射，双射。
设函数f：A->B (读作：设函数f 是从A到B的函数)（B为陪域，f(A)值域）
（1）函数的值域等于陪域，则称f是满射的；
（2）若对于任何的x1,x2∈A，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，则称f是单射的；
（3）若f既是满射的又是单射的，则称f是双射的。

集合的等势：A、B是集合。如果存在双射f：A->B，则称A与B等势

Q24. 什么是自然映射？
设R是A上的一个等价关系，顶不过以一个从A到A/R的函数g: A->A/R，且g(a)=[a],把A中的元素a映射到a的等价类[a]。

第五章 图

图：一个序偶<V,E>,V是结点集，E：边集，E中每个元素都有V中的结点对与之对应称之边。

补图：G为简单图<V,E>，G‘为完全图<V1,E1>。G1=<V,E1-E>为G的补图，记为G ‾

Q25. 简述并证明握手定理。
握手定理：任何图中所有顶点的度数之和等于边数的2倍。
证明：每一条边都有2个端点，所有顶点的度数之和等于它们作为端点的次数之和，因此恰好等于边数的2倍。

Q26. 什么是图的连通分支？
设G为一个无向图，R是G中顶点的连通关系，按照R可将图中顶点分成若干个等价类，由它们导出的导出子图称为G的连通分支，G的连通分支的个数记为p(G)。

Q27. 什么是割点，什么是桥？
（1）设无向图G<V,E>，V’⊂V，若p(G-V’)>p(G)，且对V’的任何真子集V’‘，p(G-V‘’)=p(G)，则称V’为G的点割集。若点割集中只有一个顶点v，则称v为割点。
(非专业理解：点割集是这样的集合，将图中一个点割集中的所有顶点删去，剩下的连通分支数大于原图中的连通分支数；若删去一个点割集的真子集中的顶点，剩下的连通分支数等于原图中连通分支数。若点割集中只有一个顶点，这个顶点就是割点。)
（2）无向图G<V,E>，E’⊂E，若p(G-E’)>p(G)，且对E’的任何真子集E’‘，p(G-E‘’)=p(G)，则称E’为G的边割集。若边割集中只有一条边e，则称e为桥。
(非专业理解：边割集是这样的集合，将图中一个边割集中的所有边删去，剩下的连通分支数大于原图中的连通分支数；若删去一个边割集的真子集中的边，剩下的连通分支数等于原图中连通分支数。若边割集中只有一条边，这条边就是桥。)

Q28. 介绍图的几种矩阵表示。
关联矩阵（点和边的关系），邻接矩阵（点和点），可达矩阵

第六章 特殊的图

Q29. 什么是二部图？
若能将无向图G=<V,E>的顶点集V划分成两个不相交的非空子集V1,V2，使得G中任何一条边的两个端点一个属于V1，另一个属于V2，则成G为二部图。

Q30. 怎样判断一个无向图是否是二部图？
一个无向图G是二部图当且仅当G中没有长度为奇数的回路。

Q31. 什么是欧拉图？
经过图中每条边一次且仅一次并且行遍图中每个顶点的回路（通路），成为欧拉回路（通路），存在欧拉回路的图，称为欧拉图。

Q32. 怎样判断无向图和有向图是否存在欧拉回路（通路）。
（1）无向图G有欧拉回路当且仅当G是连通图且无奇度顶点；有欧拉通路但无欧拉回路，当且仅当G是连通图且恰好有两个奇度顶点，这两个顶点是欧拉通路的端点。
（2）有向图D有欧拉通路当且仅当D是连通的且每个顶点的入度等于出度；有欧拉通路但无欧拉回路，当且仅当D是连通的，且除了这两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度。这两个顶点，一个顶点的入度比出度大1，作为终点，另一个出度比入度大1，为始点。

Q33. 什么是哈密顿图？
经过图中每个顶点一次且仅一次的回路（通路）称为哈密顿回路（通路），存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。

Q34. 什么是平面图，什么是平面嵌入？
如果图G能画在平面上使得除顶点处外没有边交叉，则称G为平面图。画出的这种不出现边交叉的图称为G的一个平面嵌入。

Q35. 介绍两个图同构和同胚。
两个图同构的必要条件：顶点数相同，边数相同，度数序列相同
同胚：如果两个图同构或者经过反复插入或消去2度顶点后同构，则称两个图同胚。

Q36. 介绍基本割集系统和基本回路系统。
（1）设T是连通图G=<V,E>的一颗生成树，对每一条弦e，存在唯一的由弦e和T的树枝构成的初级回路C，称其为对应于弦e的基本回路。所有基本回路的集合为对应生成树T的基本回路系统。（只有一条弦）
（2）设T是连通图G=<V,E>的一颗生成树，对T的每一条树枝a，存在唯一的由树枝a，其余的边都是弦的割集，称这样的割集为对应树枝a的基本割集。所有基本割集的集合为对应生成树T的基本割集系统。（只有一条树枝）

第七章 代数系统

n元运算：设X是集合，f：Xⁿ->Y 是个影射，则称f是X上的n元运算

Q37. 如何验证一个运算是否为集合S上的二元运算？
首先要保证参加运算的可以是S中的任意两个元素，而运算的结果也是S中的一个元素，即S对该运算是封闭的。

Q38. 什么是代数系统？
非空集合S和S上的k个运算f1,f2,…,fk，组成的系统成为一个代数系统。

Q39. 介绍半群，群，循环群。

半群：设S是非空集合，⭐是S上的二元运算，如果⭐在S上满足封闭性、可结合性，则称<S，⭐>是半群

独异点：设<S，⭐>是个半群，如果⭐运算有幺元，则称<S，⭐>是独异点，也称它是含幺半群

幺元：假设⭐是集合S的二元运算。若有一元素e∈S，对任意x有 e⭐x = x 或 x⭐e = x，则称e为S中对于⭐的幺元

群：<S，⭐>是代数系统，如果⭐运算在S上满足方便些、可结合性、<S，⭐>中有幺元且S中的每个元素均可逆，则称<S，⭐>是群

设V=<S,o>是一个代数系统:

Q40. 介绍环和域。

设<R,+,*>是代数系统：

Q41. 什么是子群和生成子群，怎样判断G的子集H能否构成G的子群？
子群：设群<G,>，H是G的非空子集。如果H关于G中的运算构成群，称H为G的子群。
设G为群，H是G的非空子集，如果对任意x,y∈H，都有xy^(-1)∈H，则称H是G的子群。
生成子群：若对任何x∈G，令H={x^k|k∈Z}，即x的所有幂的集合，为元素x生成的子群。

Q42. 什么是格，什么是布尔代数？
格：设<S,≤>是偏序集，如果任意x,y∈S，{x,y}都有上确界和下确界，称S关于≤构成格。
布尔代数：由布尔格<B，≼> 诱导的代数系统B以及求B的上确界、求下确界、求补，称为布尔代数

补充

一、平面图
平面图：可以画在平面上，除端点外任意两边都不相交。
欧拉公式：n-m+r=2，n：顶点个数。m:边个数。r:面个数。
重要公式：m ≤ \leq≤ 3n-6

二、二元关系
对称的二元关系：每当(a,b)∈ \in∈R,则必有(b,a)∈ \in∈R
自反的二元关系：任意a，有(a,a)∈ \in∈R
传递的二元关系：每当(a,b)∈ \in∈R,(b,c)∈ \in∈R则必有(a,c)∈ \in∈R
等价关系：同时满足对称、自反、传递

三、群
半群：代数系统的二元运算是封闭、可结合的。
独异点：代数系统的二元运算是封闭、可结合的。含有幺元。
群：代数系统的二元运算是封闭、可结合的。含有幺元。每个元素都有逆元。
特殊的群：可交换群=阿贝尔群。（每个元素可交换）
拉格朗日定理：n阶群的任意k阶子群都有k整除n。

四、图
（1）哈密顿图：能走出一条只通过每个节点仅一次的回路。
哈密顿图的判定：如果图中任意两个顶点度数之和大于等于n，则图是哈密顿图。
哈密顿图的性质：如果从哈密顿图中去掉p个点得到图G，图G中连通分支的数量小于等于p。

（2）欧拉图：能走出一条通过每条边仅一次的回路。
欧拉图的判定：无向连通图是欧拉图的充分必要条件是图中所有顶点都是偶度点。
有向弱连通图是欧拉图的充分必要条件是每个顶点的入度等于出度。
二部图：能把顶点集合分为两个子集，所有的边的两端都分别在两个子集中。
无向图是二部图的充分必要条件是图中只有偶长回。

图的相关算法
最小生成树算法：Kruskal算法（加边）,Prim算法（加点）
最短路径算法：弗洛伊德算法（各个顶点）、迪杰斯特拉算法（单源）

五、格
格的定义：封闭的，交和并运算都满足交换律、结合律和吸收律。
格的判定：任取哈斯图的子集都存在上确界和下确界。
有限格都是有界格。
分配格：不存在和五角格和钻石格同构的子格。
有补格：每个元素都有补元。（补元：a⋀ \bigwedge⋀b=0且a⋁ \bigvee⋁b=1，则a,b互补）
布尔格：有补分配格

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【离散数学】计算机考研复试问答题总结_离散数学复试面试题目-CSDN博客

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