目录

一、引入：古人奇妙的问题与解法。

二、步入正题：什么是中国剩余定理？

1.如何解决

（1）第一步：分解

（2）第二步：计算

（3）第三步：合并

（4）最终求出结果

2.深入中国剩余定理

3.一道合适的自测题目

三、扩展算法：扩展中国剩余定理（大数翻倍法）。

1.说出我的扩展的理由

2.定理原理：主要合并

3.附上代码：写的不好QAQ

四、最后 

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一、引入：古人奇妙的问题与解法。

 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？——《孙子算经》（所以中国剩余定理也称孙子定理）

        翻译过来就是 “有一样东西不知道有多少，三个三个数剩二个，五个五个数剩三个，七个七个数剩二个。问有多少东西？”，且这个问题问最小值。若将它转化为符号与数字，也就是一组同余方程，如下。

 

        注：我们这里设为东西的数量，下文也会提及。

二、步入正题：什么是中国剩余定理？

1.如何解决

（1）第一步：分解

        这个问题我们可以拆解一下，变为……

• “三个三个数剩一个（1），五个五个数一个不剩（0），七个七个数同样一个不剩（0）。”
• “三个三个数一个不剩（0），五个五个数剩一个（1），七个七个数同样一个不剩（0）。”
• “三个三个数一个不剩（0），五个五个数同样一个不剩（0），七个七个数剩一个（1）。”

（2）第二步：计算

        让我们先来解三个分解问题……以第一题为例，怎么解呢？以与0同余为突破口，已知为5和7的倍数也就是（最小公倍数）的倍数所以我们设，解同余方程，首先左侧对3取余得，即为，再次变换为，显然还需要求的逆元即，即。

        其余以此类推，同理第二题为21，第三题为15。

（3）第三步：合并

        有点意思~我们只需要按照原来的“三个三个数剩二个，五个五个数剩三个，七个七个数剩二个”变为（上文数值），但这数也未免太大了，所以还需要，但为什么对105取余？那是因为，通过取模来去掉不需要的部分（停下思考ing）。

（4）最终求出结果

        结果为23，这就是中国剩余定理能解决的问题——解决求最小满足上文类型同余方程的定理。

        注：相信你已经了解了许多，这里只是一些定理，若了解深刻，可自行跳过。

2.深入中国剩余定理

 

        这，是一组同余方程，它共有个，且到两两互质用上文方法，一个一个开始“孤立”。

 

        这样整个方程组只剩一个同余于1，其他为0，我们设为所有的乘积，还记得吗？我们分解成许多，现在我们通过式子将的值写出来，如下。

        注：请谨慎辨别下方算式，（举个例子）当在模意义下且与不互质时，没有逆元！

        有了 ，便可求得，好问题又来了，为什么没有？那是因为上文说过两两互质。

3.一道合适的自测题目

        在洛谷中有一道非常合适的模板题，传送门在这，but我只有扩展中国剩余定理的的代码，不过通用，继续往下看吧。

三、扩展算法：扩展中国剩余定理（大数翻倍法）。

1.说出我的扩展的理由

        首先我觉得很赞，首先他可以免除所有必须两两互质的悲伤事情。其次代码也很简单易懂，更适合编程宝宝体质。

2.定理原理：主要合并

        首先有和两个同余方程，将其可合并为与（此为中的最小值）或（此为中的最小值）在模的意义下。

        注：后面就是代码了，请放心食用😀。

3.附上代码：写的不好QAQ

        而在洛谷中还有一道非常合适的模板题，传送门在这。代码如下……

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define lcm(a,b) a/gcd(a,b)*b
void merge(ll &a,ll &pa,ll b,ll pb){
	if(pa<pb)swap(pa,pb),swap(a,b);//小小的优化：交换，后面循环能更短。
	ll l=lcm(pa,pb);//提前计算也是一个小小优化，让循环更短。
	while(a<=l&&a%pb!=b)a+=pa;
	if(a>l)a=0,pa=1;//在加一个特判前后呼应。
    else pa=l;
}
ll n,x,p,sumx,sump=1;//x≡sumx(mod sump)，即为最终合并的结果。
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&p,&x);
		x%=p;
		merge(sumx,sump,x,p);
	}
	printf("%lld",sumx);
} 

        如果去掉优化即为……

void merge(ll &a,ll &pa,ll b,ll pb){
	while(a%pb!=b)a+=pa;
    pa=lcm(pa,pb);
}

        提一嘴，这一道题是道洛谷紫题，同样也是我的第一道紫题。 

四、最后 

        中国文化博大精深，非常适合中国宝宝体质。