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什么是取模运算

概念——（来源于百度百科）

取模运算是求两个数相除的余数。

取模运算（Modulo Operation）和取余运算（Remainder Operation）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。

定义——（来源于百度百科）

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 ：

n = kp + r ；

其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。

取模运算的基本性质以及运算规则

基本性质

1. 若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7) 

2. (a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

3. 对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

4. 传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

补充：

≡是同余符号，用于表示两个数模n同余的关系。如果a-b能被n整除，即(a-b)modn=0，那么就称整数a与b对模n同余，记作a≡b(modn)。

例如，3≡1(mod4)表示3和1对模4同余。

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

2. (a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）

3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

• 结合律：((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

• 交换律：(a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

• 分配律：(a+b) % p = ( a % p + b % p ) %p（9）

• ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

重要定理

• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c)/ ≡ (b + c) (%p)；

• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；

• 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p)； （13）

主要资料都来源于百度搜索，同样取模运算运用在算法之中也比较常见；个人用的比较多的，也比较常见的是一些困难存在溢出的问题，例如：斐波那契数列的第n项与什么取模之类的。

希望上面的知识能够帮助到读者的你们，如果存在任何问题可以评论纠正