【信号与系统】Z变换
信号与系统z变换
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X ( z ) = ∑ − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=−∞∑∞x(n)z−n
一、z变换的收敛域
1. 求收敛域
只有当z变换展开的无穷幂级数收敛时，z变换才有意义。能够使级数收敛的z值集合叫做收敛域（ROC）
级数收敛的条件为：
∑
−
∞
∞
∣
x
(
n
)
z
−
n
∣
<
∞
\sum_{-\infty}^{\infty}|x(n)z^{-n}|<\infty
−∞∑∞∣x(n)z−n∣<∞
一般用比值判定法判定：
lim
n
→
∞
∣
x
(
n
+
1
)
z
−
(
n
+
1
)
x
(
n
)
z
−
n
∣
<
1
\lim_{n\to\infty}\left| \frac{x(n+1)z^{-(n+1)}}{x(n)z^{-n}} \right|<1
n→∞lim
x(n)z−nx(n+1)z−(n+1)
<1
当上述极限等于1时，不能判定是否收敛
2. 左右序列的收敛域
- 右边序列
x 1 ( n ) = ∑ n = 0 ∞ a n x_1(n)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n x1(n)=n=0∑∞an
通过比值判定法得到ROC为 ∣ z ∣ > a |z|>a ∣z∣>a，在z平面上表示为半径为a的圆的外侧
- 左边序列
x 1 ( n ) = ∑ n = − ∞ 0 b n x_1(n)=\sum_{n=-\infty}^{0}b^n x1(n)=n=−∞∑0bn
通过比值判定法得到ROC为 ∣ z ∣ < a |z|<a ∣z∣<a，在z平面上表示为半径为b的圆的内侧
- 左右序列
x 3 ( n ) = ∑ n = 0 ∞ a n + ∑ n = − ∞ 0 b n x_3(n)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n+\sum_{n=-\infty}^{0}b^n x3(n)=n=0∑∞an+n=−∞∑0bn
则要同时满足左右两边的收敛域，如果 a < b a<b a<b则收敛域为一个圆环，否则无收敛域
二、常见信号的z变换
1. 单位样值序列
Z [ δ ( n ) ] = 1 ∣ z ∣ ≥ 0 \mathscr{Z}[\delta(n)]=1 \qquad|z|\ge0 Z[δ(n)]=1∣z∣≥0
2. 单位阶跃序列
Z [ u ( n ) ] = z z − 1 ∣ z ∣ > 1 \mathscr{Z}[u(n)]=\frac{z}{z-1} \qquad|z|>1 Z[u(n)]=z−1z∣z∣>1
3. 单边指数序列
Z [ a n u ( n ) ] = z z − a ∣ z ∣ > a \mathscr{Z}[a^nu(n)]=\frac{z}{z-a} \qquad|z|>a Z[anu(n)]=z−az∣z∣>a
4. 复指数序列
Z [ e j n Ω ] = z z − e j Ω ∣ z ∣ > 1 \mathscr{Z}[e^{jn\Omega}]=\frac{z}{z-e^{j\Omega}} \qquad|z|>1 Z[ejnΩ]=z−ejΩz∣z∣>1
5. 余弦序列
Z [ cos ( Ω n ) u ( n ) ] = z 2 − cos Ω z z 2 − 2 z cos Ω + 1 ∣ z ∣ > 1 \mathscr{Z}[\cos{(\Omega n)}u(n)]=\frac{z^2-\cos{\Omega z}}{z^2-2z\cos{\Omega}+1} \qquad|z|>1 Z[cos(Ωn)u(n)]=z2−2zcosΩ+1z2−cosΩz∣z∣>1
6. 正弦序列
Z [ sin ( Ω n ) u ( n ) ] = sin Ω z z 2 − 2 z cos Ω + 1 ∣ z ∣ > 1 \mathscr{Z}[\sin{(\Omega n)}u(n)]=\frac{\sin\Omega z}{z^2-2z\cos{\Omega}+1} \qquad|z|>1 Z[sin(Ωn)u(n)]=z2−2zcosΩ+1sinΩz∣z∣>1
三、z变换的性质
1. 线性特性
对于：
x 1 ( n ) u ( n ) ↔ Z X 1 ( z ) ∣ z ∣ > R x 1 x_1(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X_1(z)\quad|z|>R_{x1} x1(n)u(n)↔ZX1(z)∣z∣>Rx1
x 2 ( n ) u ( n ) ↔ Z X 2 ( z ) ∣ z ∣ > R x 2 x_2(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X_2(z)\quad|z|>R_{x2} x2(n)u(n)↔ZX2(z)∣z∣>Rx2
有：
a
1
x
1
(
n
)
+
a
2
x
2
(
n
)
↔
Z
a
1
X
1
(
z
)
+
a
2
X
2
(
z
)
∣
z
∣
>
m
a
x
(
R
x
1
,
R
x
2
)
a_1x_1(n)+a_2x_2(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}a_1X_1(z)+a_2X_2(z) \qquad|z|>max(R_{x1},R_{x_2})
a1x1(n)+a2x2(n)↔Za1X1(z)+a2X2(z)∣z∣>max(Rx1,Rx2)
2. 位移特性
位移特性均不改变收敛域，对于：
x ( n ) u ( n ) ↔ Z X ( z ) ∣ z ∣ > R x x(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X(z)\quad|z|>R_{x} x(n)u(n)↔ZX(z)∣z∣>Rx
有：
x
(
n
−
m
)
u
(
n
−
m
)
↔
Z
z
−
m
X
(
z
)
x(n-m)u(n-m)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}z^{-m}X(z)
x(n−m)u(n−m)↔Zz−mX(z)
即向右偏移m个单位，但是原先在左边的点不移动
另外：
x
(
n
+
m
)
u
(
n
)
↔
Z
z
m
[
X
(
z
)
−
∑
k
=
0
m
−
1
x
(
k
)
z
−
k
]
x(n+m)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}z^{m}[X(z)-\sum_{k=0}^{m-1}x(k)z^{-k}]
x(n+m)u(n)↔Zzm[X(z)−k=0∑m−1x(k)z−k]
即所有点都向左移动m个单位，并且减去前m个点
还有：
x
(
n
−
m
)
u
(
n
)
↔
Z
z
−
m
[
X
(
z
)
+
∑
k
=
−
m
−
1
x
(
k
)
z
−
k
]
x(n-m)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}z^{-m}[X(z)+\sum_{k=-m}^{-1}x(k)z^{-k}]
x(n−m)u(n)↔Zz−m[X(z)+k=−m∑−1x(k)z−k]
所有点都向右移动m个单位，但是要加上原先在左边由于阶跃函数变成0的m个点
对于因果序列(零状态)，有：
x
(
n
−
m
)
u
(
n
)
↔
Z
z
−
m
X
(
z
)
x(n-m)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}z^{-m}X(z)
x(n−m)u(n)↔Zz−mX(z)
3. 展缩特性
对于：
x ( n ) u ( n ) ↔ Z X ( z ) ∣ z ∣ > R x x(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X(z)\quad|z|>R_{x} x(n)u(n)↔ZX(z)∣z∣>Rx
有：
a
n
x
(
n
)
u
(
n
)
↔
Z
X
(
z
a
)
∣
z
a
∣
>
R
x
a^nx(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X(\frac{z}{a}) \qquad|\frac{z}{a}|>R_x
anx(n)u(n)↔ZX(az)∣az∣>Rx
4. z域微分特性
对于：
x ( n ) u ( n ) ↔ Z X ( z ) ∣ z ∣ > R x x(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X(z)\quad|z|>R_{x} x(n)u(n)↔ZX(z)∣z∣>Rx
有：
n
m
x
(
n
)
u
(
n
)
↔
Z
(
−
z
d
d
z
)
m
X
(
z
)
∣
z
∣
>
R
x
n^mx(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}\left(-z\frac{d}{dz}\right)^mX(z) \qquad|z|>R_{x}
nmx(n)u(n)↔Z(−zdzd)mX(z)∣z∣>Rx
5. z域积分特性
对于：
x ( n ) u ( n ) ↔ Z X ( z ) ∣ z ∣ > R x x(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X(z)\quad|z|>R_{x} x(n)u(n)↔ZX(z)∣z∣>Rx
有：
x
(
n
)
n
+
m
↔
Z
z
m
∫
z
∞
X
(
x
)
x
(
m
+
1
)
d
x
∣
z
∣
>
R
x
\frac{x(n)}{n+m}\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}z^m\int_{z}^{\infty}\frac{X(x)}{x^(m+1)}\,dx \qquad|z|>R_x
n+mx(n)↔Zzm∫z∞x(m+1)X(x)dx∣z∣>Rx
6. 卷积和定理
对于：
x 1 ( n ) u ( n ) ↔ Z X 1 ( z ) ∣ z ∣ > R x 1 x_1(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X_1(z)\quad|z|>R_{x1} x1(n)u(n)↔ZX1(z)∣z∣>Rx1
x 2 ( n ) u ( n ) ↔ Z X 2 ( z ) ∣ z ∣ > R x 2 x_2(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X_2(z)\quad|z|>R_{x2} x2(n)u(n)↔ZX2(z)∣z∣>Rx2
有：
x
1
(
n
)
u
(
n
)
∗
x
2
u
(
n
)
↔
Z
X
1
(
z
)
⋅
X
2
(
z
)
∣
z
∣
>
m
a
x
(
R
x
1
,
R
x
2
)
x_1(n)u(n)*x_2u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X_1(z)\cdot X_2(z) \qquad|z|>max(R_{x1},R_{x_2})
x1(n)u(n)∗x2u(n)↔ZX1(z)⋅X2(z)∣z∣>max(Rx1,Rx2)
7. 初值定理
x ( 0 ) = lim z → ∞ X ( z ) x(0)=\lim_{z\to\infty}X(z) x(0)=z→∞limX(z)
8. 终值定理
x ( ∞ ) = lim n → ∞ ( z − 1 ) X ( z ) x(\infty)=\lim_{n\to\infty}(z-1)X(z) x(∞)=n→∞lim(z−1)X(z)
四、z反变换
z反变换公式为：
x
(
n
)
=
1
2
π
j
∮
C
X
(
z
)
z
(
n
−
1
)
d
z
n
=
0
,
±
1
,
±
2
,
⋯
x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_CX(z)z_(n-1)dz \qquad n=0,\pm1,\pm2,\cdots
x(n)=2πj1∮CX(z)z(n−1)dzn=0,±1,±2,⋯
其中C为收敛域中的任意曲线，一般取圆即可
z变换的通常方法为留数法，但由于要凑成 z / ( z − a ) z/(z-a) z/(z−a)的形式，要先除以z，即对 X ( z ) / z X(z)/z X(z)/z分解
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