量子计算机

量子计算机是利用“量子叠加”，“纠缠”等量子力学现象实现并行计算的计算机。传统计算机需要大量时间才能得出答案的问题，量子计算机可能会在短时间内解决，因此有望在各个领域得到应用。根据解决问题的方法，量子计算机可以大致分为量子门法（门:gate）和量子退火法（退火:annealing）两种。本文只讲解量子退火法相关的建模和计算过程。

量子退火法能解决什么问题？

量子退火法就是模拟退火算法的量子实现版。我们先撇开量子力学的相关知识，关注于实际问题。本篇文章专注于量子退火法的输入，输入，输入！

量子退火法都必须把问题映射成一个叫【哈密顿算符(Hamiltonian) 】的能量表达式，一般用H表示，然后求出让H值最小的变量组合。这个表达式是个二次多项式，里面的变量只能取0或1。下面举个例子。

也就是x1和x2都只能取值0或1，我们要算出来，让H最小的x1和x2的值。因为x1和x2的取值组合和对应的H值，如下表所示：

从上面的表格可以看出，(x1, x2) = (0, 1)的时候，H=0，是最小值。使用量子退火解决法，可以解决所有可以转变成二次多项式的，变量取值只能是0或1的问题。

上面的例子只有两个变量，所以很容易算出(x1, x2)的最优解，但是当有成千上万个x变量时，普通计算机就要花很久来计算，而量子退火机可以在数分钟内得出结果（计算时间依赖问题规模而定）。

那怎么把一次多项式和高次多项式转变成二次多项式呢？下面先举一个把一次多项式，转换成二次多项式的例子。

上面是这个一次多项式，因为里面的x（x1，x2，x3）只能取0或1。所以，x = x²。那么就可以转换成下面👇的二次多项式了。

同理，下面的四次多项式，可以这么转换。（三次多项式的转换比较麻烦，以后有机会再说。）

因为即使把H里面的【每一项都乘以整数倍】和【去除常数项】也不会影响的最小值的解。所以，下面的转化没有任何问题。这里用→表示经过整数倍或者去掉常数项的过程。

量子退火法和QUBO

上面的哈密顿算符H是个二次多项式，那么为了容易用数学描述，我们可以把他们用矩阵表示。

中间这个数字的矩阵，叫做QUBO矩阵，QUBO是（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）的缩写，翻译成汉语就是，二次无约束二值优化。

为了和物理模型对应，我们一般会把QUBO变换以下的形式，

1. 把二次项的下标按照从小到大排列，比如（x2x1）→（x1x2）。
2. 把能转换的二次项转换为一次项，并写在二次项后面。

下面是个例子：

这样所有的哈密顿算符H都可以写成下面的形式了。

Python演示模拟退火算法如何利用QUBO求解

最后用python的代码看一下怎么使用QUBO求解哈密顿算符H最小值。这次使用pip install wildqat安装wildqat包，然后用模拟退火算法演示。以后用D-Wave替换就是量子退火版了。

只需获得二项式的QUBO矩阵，就可以得到让哈密顿算符H取最小值的解。
下面的二项式，化简后的到QUBO矩阵。

然后把QUBO矩阵输入到下面的程序中，就可以得到（x1, x2, x3）=（0, 1, 0）就是让y取最小值的解。

import wildqat as wq
a = wq.opt()
a.qubo = [[-3,4,-2],
		  [0,-5,6],
		  [0,0,3]]
a.sa()
>>> [0, 1, 0]

下一篇讲讲为什么要写成这样的形式，这样的形式怎么和物理模型对应。以及实际问题怎么转换成QUBO。

备注

这篇文章是我读下面这本书的读书感想，因为是日语的，我把感想写成了汉语，上面的截图很多出自这本书。这本书并不是正式出版的书，作者是研究生，书是自己编辑的，里面虽然有些小错误，但是质量非常好。感谢作者。
《最適化問題とWildqatを用いた量子アニーリング計算入門》
https://booth.pm/ja/items/1415833