高斯(Gaussian)积分常用式
常用高斯积分表达式一：
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}
∫−∞∞e−x2dx=π
常用高斯积分表达式二：
∫
−
∞
∞
e
−
a
(
x
+
b
)
2
d
x
=
π
a
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\left(x+b\right)^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}
∫−∞∞e−a(x+b)2dx=aπ
常用高斯积分表达式三：
∫
−
∞
∞
e
−
a
x
2
+
b
x
+
c
d
x
=
π
a
e
b
2
4
a
+
c
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2+bx+c} \mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}+c}
∫−∞∞e−ax2+bx+cdx=aπe4ab2+c
常用高斯积分表达式四：
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
=
2
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}=2\int_0^\infty e^{-x^2}\mathrm{d}x
∫−∞∞e−x2dx=π=2∫0∞e−x2dx
第二个表达形式在实际积分中非常常见和高效。
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