信道估计---LS、MMSE、LMMSE准则
信道估计之LS在无线通信系统中，系统的性能主要受到无线信道的制约。基站和接收机之间的传播路径复杂多变，从简单的视距传输到受障碍物反射、折射、散射影响的传播。在无线传输环境中，接收信号会存在多径时延，时间选择性衰落和频域偏移，多径时延会带来符号串扰（ISI），可以通过插入保护间隔来减少；而由于时间选择性衰落和频率偏移带来的子载波干扰（ICI），除了依靠时频偏补偿来纠正外，还需要对信道进行估计，进一步
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引言
信道估计主要分为非盲信道估计和盲信道估计。顾名思义，非盲信道估计需要使用基站和接收机均已知的导频序列进行信道估计，并使用不同的时频域插值技术来估计导频之间或者符号之间的子载波上的信道响应。目前主要使用的非盲信道估计包括最小二乘（LS）信道估计、最小均方误差（MMSE）信道估计、基于DFT的信道估计以及基于判决反馈信道估计等；而盲信道估计不需要已经已知的导频序列，主要包括基于最大期望的信道估计、基于子空间的信道估计技术等。本文主要介绍非盲信道估计
训练符号可以用于信道估计，通常能够提供较好的性能。然而，除了发射数据符号外，还需要发射前导或导频信号,由此产生的负荷会降低传输效率。当可以获得训练符号时,最小二乘(LS)和最小均方误差(MMSE)技术被广泛应用于信道估计。
基本假设
假设所有子载波是正交的，即没有载频间干扰（ICI），那么可以将N个子载波的训练符号表示成矩阵形式:
X
=
[
X
[
0
]
0
.
.
.
0
0
X
[
1
]
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
0
X
[
N
−
1
]
]
X= \begin{bmatrix} X[0] & 0 &... &0 \\ 0 & X[1] &... &0\\ ... &... &... &...\\ 0 &... &0 &X[N-1] \end{bmatrix}
X=⎣⎢⎢⎡X[0]0...00X[1]...............000...X[N−1]⎦⎥⎥⎤
其中，
X
[
k
]
X[k]
X[k]表示第
k
k
k个子载波上的导频信号，满足
E
{
X
[
k
]
}
=
0
E\{X[k]\}=0
E{X[k]}=0 ,
V
a
r
{
X
[
k
]
}
=
σ
2
Var\{X[k]\}=\sigma^2
Var{X[k]}=σ2，
k
=
0
,
1
,
2.
…
,
N
−
1
k=0,1,2.…,N-1
k=0,1,2.…,N−1。因为假设所有的子载波都是正交的，所以X是一个对角矩阵。给定第
k
k
k 个载波的信道增益
H
[
k
]
H[k]
H[k]，接收到的训练信号
Y
[
k
]
Y[k]
Y[k]能够表示为
Y
=
[
Y
[
0
]
Y
[
1
]
.
.
.
Y
[
N
−
1
]
]
=
[
X
[
0
]
0
.
.
.
0
0
X
[
1
]
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
0
X
[
N
−
1
]
]
[
H
[
0
]
H
[
1
]
.
.
.
H
[
N
−
1
]
]
+
[
Z
[
0
]
Z
[
1
]
.
.
.
Z
[
N
−
1
]
]
Y= \begin{bmatrix} Y[0] \\ Y[1] \\ ...\\ Y[N-1] \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} X[0] & 0 &... &0 \\ 0 & X[1] &... &0\\ ... &... &... &...\\ 0 &... &0 &X[N-1] \end{bmatrix} \begin{bmatrix} H[0] \\ H[1] \\ ...\\ H[N-1] \\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} Z[0] \\ Z[1] \\ ...\\ Z[N-1] \\ \end{bmatrix}
Y=⎣⎢⎢⎡Y[0]Y[1]...Y[N−1]⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡X[0]0...00X[1]...............000...X[N−1]⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡H[0]H[1]...H[N−1]⎦⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎡Z[0]Z[1]...Z[N−1]⎦⎥⎥⎤
其中， H H H为信道向量， H = [ H [ 0 , H [ 1 ] , . . . , H [ N − 1 ] ] T H=[H[0,H[1],...,H[N-1]]^T H=[H[0,H[1],...,H[N−1]]T； Z Z Z为噪声向量 Z = [ Z [ 0 , Z [ 1 ] , . . . , Z [ N − 1 ] ] T Z=[Z[0,Z[1],...,Z[N-1]]^T Z=[Z[0,Z[1],...,Z[N−1]]T，满足 E { Z [ k ] } = 0 E\{Z[k]\}=0 E{Z[k]}=0 , V a r { Z [ k ] } = σ z 2 Var\{Z[k]\}=\sigma_z^2 Var{Z[k]}=σz2， k = 0 , 1 , 2. … , N − 1 k=0,1,2.…,N-1 k=0,1,2.…,N−1。在下文中用 H ^ \hat{H} H^表示对信道 H H H的估计。
LS信道估计
LS信道估计是根据最小二乘准则的信道估计方法。在无线系统中，接收信号可表示为：
Y
=
X
H
+
Z
Y=XH+Z
Y=XH+Z
其中，X表示原始发射信号矢量(即导频信号)、H表示信道响应矢量、Z表示噪声矢量，Y表示接收信号矢量。我们的估计信道可以表示为:
Y
=
X
H
^
Y=X\hat{H}
Y=XH^
根据最小二乘准则，有如下目标函数:
J
(
H
^
)
L
S
=
∣
∣
Y
−
X
H
^
∣
∣
2
=
(
Y
−
X
H
^
)
H
(
Y
−
X
H
^
)
=
Y
H
Y
−
Y
H
X
H
^
−
H
^
H
X
H
Y
+
H
^
H
X
H
X
H
^
\begin{aligned} J(\hat{H})_{LS}&= || Y-X\hat{H}||\raisebox{0.5em}{2}\\ &=(Y-X\hat{H})\raisebox{0.5em}{H}(Y-X\hat{H})\\ &=Y\raisebox{0.5em}{H}Y-Y\raisebox{0.5em}{H}X\hat{H}-\hat{H}\raisebox{0.5em}{H}X\raisebox{0.5em}{H}Y+\hat{H}\raisebox{0.5em}{H}X\raisebox{0.5em}{H}X\hat{H} \end{aligned}
J(H^)LS =∣∣Y−XH^∣∣2=(Y−XH^)H(Y−XH^)=YHY−YHXH^−H^HXHY+H^HXHXH^
为了使得误差平方和最小，对上述目标函数求关于
H
^
\hat{H}
H^的一阶偏导数：
∂
(
J
(
H
^
)
)
∂
(
H
^
)
=
∂
(
Y
H
Y
−
Y
H
X
H
^
−
H
^
H
X
H
Y
+
H
^
H
X
H
X
H
^
)
∂
(
H
^
)
=
∂
(
−
Y
H
X
H
^
)
)
∂
(
H
^
)
+
∂
(
−
H
^
H
X
H
Y
)
)
∂
(
H
^
)
+
∂
(
H
^
H
X
H
X
H
^
)
)
∂
(
H
^
)
=
−
Y
H
X
−
(
X
H
Y
)
H
+
(
X
H
X
H
^
)
H
+
H
^
H
X
H
X
=
−
2
Y
H
X
+
2
H
^
H
X
H
X
\begin{aligned} \frac{\partial(J(\hat{H}))}{\partial(\hat{H})}&=\frac{\partial(Y\raisebox{0.5em}{H}Y-Y\raisebox{0.5em}{H}X\hat{H}-\hat{H}\raisebox{0.5em}{H}X\raisebox{0.5em}{H}Y+\hat{H}\raisebox{0.5em}{H}X\raisebox{0.5em}{H}X\hat{H})}{\partial(\hat{H})}\\ &= \frac{\partial(-Y\raisebox{0.5em}{H}X\hat{H}))}{\partial(\hat{H})}+\frac{\partial(-\hat{H}\raisebox{0.5em}{H}X\raisebox{0.5em}{H}Y))}{\partial(\hat{H})}+\frac{\partial(\hat{H}\raisebox{0.5em}{H}X\raisebox{0.5em}{H}X\hat{H}))}{\partial(\hat{H})}\\ &=-Y\raisebox{0.5em}{H}X-(X\raisebox{0.5em}{H}Y)\raisebox{0.5em}{H}+(X\raisebox{0.5em}{H}X\hat{H})\raisebox{0.5em}{H}+\hat{H}\raisebox{0.5em}{H}X\raisebox{0.5em}{H}X\\ &=-2Y\raisebox{0.5em}{H}X+2\hat{H}\raisebox{0.5em}{H}X\raisebox{0.5em}{H}X \end{aligned}
∂(H^)∂(J(H^))=∂(H^)∂(YHY−YHXH^−H^HXHY+H^HXHXH^)=∂(H^)∂(−YHXH^))+∂(H^)∂(−H^HXHY))+∂(H^)∂(H^HXHXH^))=−YHX−(XHY)H+(XHXH^)H+H^HXHX=−2YHX+2H^HXHX
令一阶偏导数为0，则有
2
Y
H
X
+
2
H
^
H
X
H
X
=
0
H
^
H
X
H
X
=
Y
H
X
X
H
X
H
^
=
X
H
Y
H
^
=
(
X
H
X
)
-1
X
H
Y
\begin{aligned} 2Y\raisebox{0.5em}{H}X+2\hat{H}\raisebox{0.5em}{H}X\raisebox{0.5em}{H}X&=0\\ \hat{H}\raisebox{0.5em}{H}X\raisebox{0.5em}{H}X&=Y\raisebox{0.5em}{H}X\\ X\raisebox{0.5em}{H}X\hat{H}&=X\raisebox{0.5em}{H}Y\\ \hat{H}&=(X\raisebox{0.5em}{H}X)\raisebox{0.5em}{-1}X\raisebox{0.5em}{H}Y \end{aligned}
2YHX+2H^HXHX H^HXHX XHXH^ H^=0=YHX=XHY=(XHX)-1XHY
所以，当
H
^
=
(
X
H
X
)
-1
X
H
Y
\hat{H}=(X\raisebox{0.5em}{H}X)\raisebox{0.5em}{-1}X\raisebox{0.5em}{H}Y
H^=(XHX)-1XHY时，所得估计的误差平方和最小，此时得到的估计信道
H
^
\hat{H}
H^是LS信道估计的解(最小范数解或最佳逼近解，广义逆矩阵知识)
由上式可以得到目标函数的最小值，即LS信道估计的解为：
H
^
=
(
X
H
X
)
-1
X
H
Y
=
X
-1
Y
(
仅
当
X
是
满
秩
矩
阵
时
候
才
可
这
么
化
简
，
否
则
X
H
X
作
为
整
体
无
法
被
分
割
)
=
X
−
1
(
X
H
+
Z
)
=
H
+
X
−
1
Z
\begin{aligned} \hat{H}&=(X\raisebox{0.5em}{H}X)\raisebox{0.5em}{-1}X\raisebox{0.5em}{H}Y\\ &=X\raisebox{0.5em}{-1}Y\\ &(仅当X是满秩矩阵时候才可这么化简，否则X^HX作为整体无法被分割)\\ &=X^{-1}(XH+Z)\\ &=H+X^{-1}Z \end{aligned}
H^ =(XHX)-1XHY=X-1Y(仅当X是满秩矩阵时候才可这么化简，否则XHX作为整体无法被分割)=X−1(XH+Z)=H+X−1Z
LS信道估计算法，实现比较简单，计算复杂度低，但是忽略了噪声的影响。LS信道估计的均方误差（MSE）为:
M
S
E
L
S
=
E
{
(
H
−
H
^
)
H
(
H
−
H
^
)
}
=
E
{
(
H
−
X
−
1
Y
)
H
(
H
−
X
−
1
Y
)
}
=
E
{
(
X
−
1
Z
)
H
(
X
−
1
Z
)
}
=
E
{
Z
H
(
X
X
H
)
−
1
Z
}
=
σ
z
2
σ
x
2
=
1
S
N
R
\begin{aligned} MSE_{LS} &= E\{(H-\hat{H})^{H}(H-\hat{H})\}\\ &=E\{(H-X^{-1}Y)^H(H-X^{-1}Y)\}\\ &=E\{(X^{-1}Z)^H(X^{-1}Z)\}\\ &=E\{Z^H(XX^H)^{-1}Z\}\\ &= \frac{\sigma^2_z}{\sigma^2_x}\\ &=\frac{1}{SNR} \end{aligned}
MSELS=E{(H−H^)H(H−H^)}=E{(H−X−1Y)H(H−X−1Y)}=E{(X−1Z)H(X−1Z)}=E{ZH(XXH)−1Z}=σx2σz2=SNR1
从上式可以看出LS估计信道的均方误差MSE与信噪比SNR成反比，意味着LS信道估计增强了噪声，尤其在信道处于深度衰落时，即低SNR的情况下更是如此，信道估计的精度会受到较大影响。虽然如此，但由于实现简单，此方法仍在实际中大规模使用。
LS信道估计工程实现
在实际工程应用中，由于矩阵求逆运算量很大，遇到大规模矩阵无法求解，因此可以采取其他求解方法。
方法一：
Y
=
X
H
^
X
H
Y
=
X
H
X
H
^
H
^
=
X
H
Y
∣
∣
X
∣
∣
2
\begin{aligned} Y&=X\hat{H}\\ X^HY&=X^HX\hat{H}\\ \hat{H}&=\frac{X^HY}{||X||^2} \end{aligned}
YXHYH^=XH^=XHXH^=∣∣X∣∣2XHY
方法二：
令
H
^
L
S
[
k
]
\hat{H}_{LS}[k]
H^LS[k]表示
H
^
L
S
\hat{H}_{LS}
H^LS中的元素，
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
N
−
1
（
N
表
示
含
导
频
载
波
个
数
）
k=0,1,2,...,N-1（N表示含导频载波个数）
k=0,1,2,...,N−1（N表示含导频载波个数）。若是没有载波间干扰（ICI），就可以直接求出每个子载波上的LS信道估计：
H ^ L S [ k ] = Y [ k ] X [ k ] , k = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 \hat{H}_{LS}[k]=\frac{Y[k]}{X[k]}, k=0,1,2,...,N-1 H^LS[k]=X[k]Y[k],k=0,1,2,...,N−1
MMSE信道估计
MMSE估计是在LS估计的基础上增加了加权矩阵W，改用最小均方误差准则进行优化。
考虑LS估计的最优解，即
H
^
L
S
=
X
−
1
Y
\hat{H}_{LS}=X^{-1}Y
H^LS=X−1Y。利用加权矩阵W，定义MMSE的估计为
H
^
=
H
^
M
M
S
E
=
W
H
^
L
S
\hat{H}=\hat{H}_{MMSE}=W\hat{H}_{LS}
H^=H^MMSE=WH^LS
根据最小均方误差准则，有如下目标函数:
J
(
H
^
)
M
S
E
=
E
{
∣
∣
e
∣
∣
2
}
=
E
{
∣
∣
H
−
H
^
∣
∣
2
}
=
E
{
∣
∣
H
−
W
H
^
L
S
∣
∣
2
}
\begin{aligned} J(\hat{H})_{MSE}&=E\{ ||e||^2\}\\ &=E\{||H-\hat{H}||^2\} \\ &=E\{||H-W\hat{H}_{LS}||^2\} \\ \end{aligned}
J(H^)MSE=E{∣∣e∣∣2}=E{∣∣H−H^∣∣2}=E{∣∣H−WH^LS∣∣2}
由矩阵论知识可知，当
e
=
H
−
H
^
=
H
−
W
H
^
L
S
e=H-\hat{H}=H-W\hat{H}_{LS}
e=H−H^=H−WH^LS与
H
^
L
S
\hat{H}_{LS}
H^LS正交时，
J
(
H
^
)
M
S
E
J(\hat{H})_{MSE}
J(H^)MSE可取得最小值。即满足
E
{
e
H
^
L
S
H
}
=
E
{
(
H
−
H
^
)
H
^
L
S
H
}
=
E
{
(
H
−
W
H
^
L
S
)
H
^
L
S
H
}
=
E
{
H
H
^
L
S
H
}
−
W
E
{
H
^
L
S
H
^
L
S
H
}
=
R
H
H
^
L
S
−
W
R
H
^
L
S
H
^
L
S
=
0
\begin{aligned} E\{e\hat{H}_{LS}^H\}&=E\{(H-\hat{H})\hat{H}_{LS}^H\}\\ &=E\{(H-W\hat{H}_{LS})\hat{H}_{LS}^H\}\\ &=E\{H\hat{H}_{LS}^H\}-WE\{\hat{H}_{LS}\hat{H}_{LS}^H\}\\ &=R_{H\hat{H}_{LS}}-WR_{\hat{H}_{LS}\hat{H}_{LS}}=0 \end{aligned}
E{eH^LSH}=E{(H−H^)H^LSH}=E{(H−WH^LS)H^LSH}=E{HH^LSH}−WE{H^LSH^LSH}=RHH^LS−WRH^LSH^LS=0
即
W
=
R
H
H
^
L
S
R
H
^
L
S
H
^
L
S
−
1
W=R_{H\hat{H}_{LS}}R_{\hat{H}_{LS}\hat{H}_{LS}}^{-1}
W=RHH^LSRH^LSH^LS−1
其中
R
H
^
L
S
H
^
L
S
R_{\hat{H}_{LS}\hat{H}_{LS}}
RH^LSH^LS为矩阵
H
^
L
S
\hat{H}_{LS}
H^LS的自相关矩阵，考虑到
H
^
L
S
=
X
−
1
Y
=
H
+
X
−
1
Z
\hat{H}_{LS}=X^{-1}Y=H+X^{-1}Z
H^LS=X−1Y=H+X−1Z，则有
R
H
^
L
S
H
^
L
S
=
E
{
H
^
L
S
H
^
L
S
H
}
=
E
{
X
−
1
Y
(
X
−
1
Y
)
H
}
=
E
{
(
H
+
X
−
1
Z
)
(
H
+
X
−
1
Z
)
H
}
=
E
{
H
H
H
+
X
−
1
Z
H
H
+
H
Z
H
(
X
−
1
)
H
+
X
−
1
Z
Z
H
(
X
−
1
)
H
}
=
E
{
H
H
H
}
+
E
{
X
−
1
Z
Z
H
(
X
−
1
)
H
}
=
R
H
H
+
σ
z
2
σ
x
2
I
\begin{aligned} R_{\hat{H}_{LS}\hat{H}_{LS}}&=E\{\hat{H}_{LS}\hat{H}_{LS}^H\}\\ &=E\{X^{-1}Y(X^{-1}Y)^H\}\\ &=E\{(H+X^{-1}Z)(H+X^{-1}Z)^H\}\\ &=E\{HH^H+X^{-1}ZH^H+HZ^H(X^{-1})^H+X^{-1}ZZ^H(X^{-1})^H\}\\ &= E\{HH^H\}+E\{X^{-1}ZZ^H(X^{-1})^H\}\\ &= R_{HH}+\frac{\sigma_z^2}{\sigma_x^2}I \end{aligned}
RH^LSH^LS=E{H^LSH^LSH}=E{X−1Y(X−1Y)H}=E{(H+X−1Z)(H+X−1Z)H}=E{HHH+X−1ZHH+HZH(X−1)H+X−1ZZH(X−1)H}=E{HHH}+E{X−1ZZH(X−1)H}=RHH+σx2σz2I
R
H
H
^
L
S
R_{H\hat{H}_{LS}}
RHH^LS为矩阵
H
H
H和
H
^
L
S
\hat{H}_{LS}
H^LS的互相关矩阵。由上式，我们最终可得：
H
^
=
W
H
^
L
S
=
R
H
H
^
L
S
R
H
^
L
S
H
^
L
S
−
1
H
^
L
S
=
R
H
H
^
L
S
(
R
H
H
+
σ
z
2
σ
x
2
I
)
−
1
H
^
L
S
\begin{aligned} \hat{H}&=W\hat{H}_{LS}=R_{H\hat{H}_{LS}}R_{\hat{H}_{LS}\hat{H}_{LS}}^{-1}\hat{H}_{LS}\\ &=R_{H\hat{H}_{LS}}(R_{HH}+\frac{\sigma_z^2}{\sigma_x^2}I)^{-1}\hat{H}_{LS} \end{aligned}
H^=WH^LS=RHH^LSRH^LSH^LS−1H^LS=RHH^LS(RHH+σx2σz2I)−1H^LS
LMMSE信道估计
LMMSE信道估计是在MMSE信道估计的基础上做了一次线性平滑。考虑到MMSE需要计算
(
R
H
H
+
σ
z
2
σ
x
2
I
)
−
1
(R_{HH}+\frac{\sigma_z^2}{\sigma_x^2}I)^{-1}
(RHH+σx2σz2I)−1，随着噪声变化和输入信号x的变化，该矩阵求逆的运算量很大而且需要不停地重新计算，极大地占据了计算资源，实时性很差。
因此LMMSE采用了一种线性最小均方误差的估算方法，用期望值的形式代替了
σ
z
2
σ
x
2
\frac{\sigma_z^2}{\sigma_x^2}
σx2σz2，可将MMSE的估计准则简化为：
H
^
(
k
)
=
R
H
H
^
L
S
(
R
H
H
+
β
S
N
R
)
−
1
H
^
L
S
(
k
)
\begin{aligned} \hat{H}(k)=R_{H\hat{H}_{LS}}(R_{HH}+\frac{\beta}{SNR})^{-1}\hat{H}_{LS}(k) \end{aligned}
H^(k)=RHH^LS(RHH+SNRβ)−1H^LS(k)
如此一来，因为
R
H
H
R_{HH}
RHH和
β
S
N
R
\frac{\beta}{SNR}
SNRβ都是常数，在一次信息传输过程中保持不变，只需要计算一次其逆矩阵即可，大大减小了计算量。
β
\beta
β为信道调制类型参数，且不同类型的调制信道其调制参数也不同。
若信道采用 16QAM 调制，则
β
\beta
β取
17
9
\frac{17}{9}
917。若采用 QPSK 调制，则
β
\beta
β取 1。
LMMSE信道估计的协方差矩阵
σ
2
\sigma^2
σ2可表示为
σ
2
=
R
H
H
^
L
S
−
[
R
H
H
^
L
S
(
R
H
H
+
β
S
N
R
)
−
1
H
^
L
S
]
\sigma^2=R_{H\hat{H}_{LS}}-[R_{H\hat{H}_{LS}}(R_{HH}+\frac{\beta}{SNR})^{-1}\hat{H}_{LS}]
σ2=RHH^LS−[RHH^LS(RHH+SNRβ)−1H^LS]
LMMSE信道估计的均方误差可表示为：
M
S
E
L
M
M
S
E
=
1
N
t
r
{
σ
2
}
MSE_{LMMSE}=\frac{1}{N}tr\{{\sigma^2}\}
MSELMMSE=N1tr{σ2}
t
r
{
}
tr\{\}
tr{}表示求迹运算
LMMSE实现
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