4.2 矩阵的压缩存储（一）

在有些情况下，矩阵中含有许多值相同或者值为零的元素，如果还按前面的方法来存储这种矩阵，就会产生大量的空间浪费。为了节省存储空间，可以对这类矩阵采用压缩存储。

4.2.1 特殊矩阵

所谓特殊矩阵，指的是相同值的元素或者零元素在矩阵中的分布有一定规律的矩阵。

1.对称矩阵

若n阶方阵A中的元素满足下述性质：
$$a_{ij}=a_{ji}(0\le i，j\le n-1)$$
则称A为n阶的对称矩阵。对称矩阵中的元素是关于主对角线对称的，所以只需要存储矩阵上三角或者下三角的元素即可。让两个对称的元素共享一个存储空间。这样，就能够节省近一半的存储空间。

原来数据结构这么厉害，怪不得必须得学。。。

$$\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{00}& & & & \\ a_{10}& a_{11}& & & \\ a_{20}& a_{21}& a_{22}& & \\ ...& ...& ...& & \\ a_{n-10}& a_{n-11}& ...& a_{n-1n-1}& \end{array}\right]$$

​ 对称矩阵下三角元素示意图

在以上的下三角矩阵中，第i行（0≤i≤m-1）恰好有i+1个元素，所以元素总数为
$$\sum _{i=0}^{n-1}(i+1)=n(n+1)/2$$

刚看到n(n+1)/2这个公式的时候有点熟，好像在哪里见过。百度了下，就是当年1+2+3+…+100=？这个题所使用的公式吗！！100个100+1然后再除以2。。。

这样看就明白了，原谅我还是没把这思维带入到里面。。。

假设以一维数组sa[n(n+1)/2]作为n阶对称矩阵A的存储结构，那么，矩阵中元素
$$a_{ij}$$
和数组元素sa[k]之间存在着一 一对应关系。

这个下标ij不好表示到一行中，如果有比较好的工具麻烦跟我说下。

这种对应关系分析如下：

1. 若i≥j时，则a _ {ij}在下三角矩阵中。

   a _{ij}之前i行（从0行到第i-1行）一共有1+2+3+...+i=i * (i+1) /2个元素，在第i行上，a _{ij}之前恰好有j个元素。

$$k=i\ast (i+1)/2+j(0\le k<n(n+1)/2)$$

2. 若i<j时，则a_{ij}在上三角矩阵中。

   因为有
   $$a_{ij}=a_{ji}$$
   所以只要交换i和j即可得到：
   $$k=j\ast (j+1)/2+i(0\le k<n(n+1)/2)$$

因此，有：
k = { j ∗ ( j + 1 ) 2 + i        i < j ， i ∗ ( i + 1 ) 2 + j        i ≥ j ， 0 ≤ k < n ( n + 1 ) / 2 k=\begin{cases} \end{cases}^{i*(i+1)2+j\ \ \ \ \ \ i≥j，}_{j*(j+1)2+i\ \ \ \ \ \ i<j，}0≤k<n (n+1) / 2 k={j∗(j+1)2+i      i<j，i∗(i+1)2+j      i≥j，​0≤k<n(n+1)/2

由此，a_{ij}的存储地址可用下面的公式计算：

$$LOC(a_{ij})=LOC(sa[k])=LOC(sa[0])+k\ast d$$

LOC代表的含义是存储地址，sa[0]是第一个元素，k代表元素个数，d代表一个元素需要d个存储单元

有了上述的计算公式，就能够立即找到矩阵元素a_{ij}在其压缩存储表示sa中的对应位置k。例如，
$$a_{32}和a_{23}$$
都存储在sa[8]中，这是因为
$$k=i\ast (i+1)/2+j=3\ast (3+1)/2+2=8$$

例4.3

已知A和B是两个n * n阶的对称矩阵，因为是对称矩阵，所以仅需要输入下三角元素值存入一维数组。试写一算法，求对称矩阵A和B的乘积。

• 分析：

  如果是两个完整的矩阵相乘，其算法是比较简单的，但由于是对称矩阵，所以要清楚对称矩阵的第i行和第j列的元素数据在一维数组中的位置，其位置计算公式为：
  $$l=i\ast (i+1)/2+j当i\ge j时（A_{ij},B_{ij}处于下三角中）;$$

  $$l=j\ast (j+1)/2+i当i<j时（A_{ij},B_{ij}处于上三角中）;$$

  期中，l代表A_{ij}或B_{ij}在其对称矩阵中的位置，而且0≤l<n(n+1)/2。因此，实现本题功能的算法如下：

  void matrixmult(int a[] ,int b[] ,int c[][20],int n){
      //n为A、B矩阵下三角元素个数，a,b分别为一维数组，存放矩阵A和B的下三角元素值
      //c存放A和B的乘积
      for(i=0;i<20;i++){
          for(j=0;j<20;j++){
              s=0;
              for(k=0;k<n;k++){
                  if(i>=k){		//表示元素为下三角的元素，计算在a数组中的下标
                      l1=i*(i+1)/2+k;
                  }else {			//表示元素为上三角的元素，计算下标
                      l1=k*(k+1)/2+i;
                  }
                  if(k>=j){		//表示元素为下三角的元素，计算在b数组中的下标
                      l2=k*(k+1)/2+j;
                  }else {
                      l2=j*(j+1)/2+k;
                  }
                  s=s+a[l1]*b[l2];
              }
              c[i,j]=s;
          }
      }
  }
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这例子是啥呀，看都看不懂。心态炸裂。无能狂怒。n代表一个矩阵下三角元素个数？假设20的对阶，个数是20 * （20 +1）/2=210 一半的话也有100多，这循环？？？？？

不敢否认这书的正确性，毕竟是自考指定教材。敢不敢再写详细点。。。。。

算了，略过这个。考试要是考了当我送给你的。

好气啊 。 。。 。。。。。 。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。