P2159 [SHOI2009]舞会(DP&高精)

Harris-H

22795人浏览 · 2021-07-23 10:34:28

Harris-H · 2021-07-23 10:34:28 发布

P2159 [SHOI2009]舞会(DP&高精)

$n = 200$ ，考虑 $n^3$ 的 $d p$ ，但是本题没有模数，所以要高精度，且高精常数巨大，所以考虑 $n^2$ 的 $d p$ 。

令 $f [i] [j]$ 前 $i$ 对男人和女人中有 $j$ 对女人高于男人的方案数。

答案就是： $\large ans=\sum\limits_{i=0}^k f[n][i]$

考虑如何状态转移。

对于当前第 $i$ 个男人 $a_i$ 和第 $i$ 个女人分情况讨论。

$\large 1:a_i\ge b_i$

然后分 $j$ 增加和不增加两种情况。

$j$ 不增加：首先我们统计一下 $[1, i]$ 中有多少个男人 $\ge b_i$ ，我们记为 $c n t$ 。

这里 $c n t$ 包括 $i$ ，是为了带上 $f [i - 1] [j]$ 本来的贡献。

显然这 $c n t$ 对之前是男人更高的，因为他们都 $\ge b_i$ ，所以必然大于等于 $b_k$ 。

因此这 $c n t$ 种情况是 $j$ 不增的。还有一种情况是从 $j$ 对里交换，因为原来是女人更高，交换了对应位置的女人后，还是女人更高，且第 $i$ 个位置男人还是高于女人。

所以贡献是： $f[i][j]=f[i-1][j]\times (j+cnt)$

然后 $j$ 增加的贡献就是：总人数 $i$ 减去 $j$ 不增加的人数。

$f[i][j]=f[i][j]+f[i-1][j-1]\times (i-[(j-1)+cnt])$

$\large 2.a_i<b_i$

同理用 $c n t$ 来统计 $[1, i)$ 有多少女人高于 $b_i$

这里不包括 $i$ 是为了带上 $f [i - 1] [j]$ 本来的贡献。

然后在女人更高的 $j$ 对中减去 $c n t$ ，就是交换后女人小于等于 $a_i$ 的，一加一减就是不增。

$f[i][j]=f[i-1][j]\times (j-cnt)$

然后增加的情况用 $i$ 减就可以。

$f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-1]\times (i-(j-1-cnt)))$

答案很大，要高精，因为都是由前一个状态转移过来的，可滚动数组。

滚动数组注意每次初始化清零。

// Problem: P2159 [SHOI2009]舞会
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2159
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Date: 2021-07-23 09:31:24
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=205,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0) 
void Print(int *a,int n){
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\n",a[n]); 
}
struct num{
	int len,c[M];
	num(){}	//no parameter init
	num(int x){ mst(c,0);//init by number
	if(!x) len=1;
	else{len=0;while(x) c[++len]=x%10,x/=10;}
	}
	num operator =(int x){
		mst(c,0);
			if(!x) len=1;
		else{len=0;while(x) c[++len]=x%10,x/=10;}
		return *this;
	}
	num operator +(const num &b)const{	//高精加
		num ans(0);
		int l=max(len,b.len),p=0;
		ans.len=l;
	for(int i=1;i<=l;i++){
		 ans.c[i]=c[i]+b.c[i]+p;
		 p=ans.c[i]/10;
		 ans.c[i]%=10;
	}
	if(p) ans.c[++ans.len]=p;
	return ans;
	}
	num operator *(const num &b)const{	//高精乘高精
		num ans(0);
	int l=len+b.len-1,p=0;
	for(int i=1;i<=len;i++)
		for(int j=1;j<=b.len;j++)
			ans.c[i+j-1]+=c[i]*b.c[j];
	for(int i=1;i<=l;i++){
		ans.c[i+1]+=ans.c[i]/10;
		ans.c[i]%=10;
	}
	if(ans.c[l+1]) l++;ans.len=l;
	return ans;
	}
	num operator *(int &x){	//高精乘低精
		int p=0;
	 for(int i=1;i<=len;i++){
	 	  c[i]=c[i]*x+p;
	 	  p=c[i]/10;
	 	  c[i]%=10;
	 }
	 while(p){
	 	c[++len]=p;
	 	p/=10;
	 	c[len]%=10;
	 }
	 return *this;
	}
};
void Print(num a){
	while(!a.c[a.len]&&a.len>1) a.len--;
	for(int i=a.len;i;i--)
		printf("%d",a.c[i]);
	printf("\n");
}
int n,k;
num f[2][N];
int a[N],b[N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
	sort(a+1,a+n+1),sort(b+1,b+n+1);
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int cnt=0,ii=i&1;
		for(int j=0;j<=i;j++) f[ii][j]=0; 
		if(a[i]>=b[i]){
		for(int j=1;j<=i;j++) if(a[j]>=b[i]) cnt++;
		for(int j=0;j<=i;j++)
			f[ii][j]=f[!ii][j]*(j+cnt);
		for(int j=1;j<=i-cnt;j++)
			f[ii][j]=(f[ii][j]+f[!ii][j-1]*(i-(j-1)-cnt));
		}
		else {
		for(int j=1;j<i;j++) if(b[j]>a[i]) cnt++;
		for(int j=cnt;j<=i;j++)
			f[ii][j]=f[!ii][j]*(j-cnt);
		for(int j=1;j<=i;j++)
			f[ii][j]=(f[ii][j]+f[!ii][j-1]*(i-(j-1)+cnt));				
		}
	}
	num ans;
	for(int i=0;i<=k;i++) ans=ans+f[n&1][i];
	Print(ans);
	return 0;
}