一 说在前头

最近在学习《机器人学导论》（‘Introduction to ROBOTICS’-JOHN CRAIG）,文章内容为学习过程中的摘抄或者感悟，方便今后查阅。
例如有一组应用于京东无人仓库的分拣生产线的 KUKA 机器人，由许多关节组成。
如果我们要控制机械臂运动到指定位置，那么精确地控制每个关节电机的角度就是必须的，有很多传感器可以用于电机角度的测量，常用的有陀螺仪，使用陀螺仪可以得到所测量物体在Roll、Pitch、Yaw轴上的角度，利用三个轴的角度我们可以得到所测量物体在空间中的姿态，从而给控制系统提供采集到的数据，完成机械臂的控制。
接下来，将讨论位置、姿态等从机器人学角度上的解释。

二 描述

1 位置描述

在机器人学上，如何描述一个物体B与另一个物体A之间的空间位置关系（即如何定位物体）？
我们假设B是一个质点，A为参考点，从而在A点上建立一个坐标系，就可以用一个3X1的位置矢量给B定位。

其中，^AP的左上标A表示的是该矢量基于A坐标系，我们可以认为，^AP矢量可以代表B在空间里相对于A的位置关系。

2 姿态描述

上面我们介绍了位置矢量，可以简单的理解为B到A相对位置。我们假设B是一个末端执行器，如下图所示，为一款二指夹爪（Robotiq-85 gripper）的三视图。

如果我们要控制机械臂去夹取一个目标物体，就需要转动夹爪等运动，那么夹爪在空间上的朝向等状态就会发生变化。那么，在机器人学上，如何描述一个物体B在空间里相对于物体A的姿态？

同理，我们只要得出坐标系{B}相对于坐标系{A}的描述就可以表示出物体的姿态。

点的位置可以用矢量描述，物体的姿态可以用固定在物体上的坐标系来描述，用矩阵来表示。

$\widehat{X_B}$、$\widehat{Y_B}$、$\widehat{Z_B}$用来表示坐标系{B}主轴方向的单位矢量。
$\widehat{{}^A{X}_B}$、$\widehat{{}^A{Y}_B}$、$\widehat{{}^A{Z}_B}$表示相对于坐标系{A}的单位矢量。
从而我们可以得到一个旋转矩阵（rotation matrix）,表示{B}相对于{A}的描述。

该如何去理解这个矩阵呢？下面我们再看另一种描述方法。

即矩阵中的各个分量都用单位矢量的点积来表示了。矩阵中的第一列

表示的是坐标轴{B}的主轴X单位矢量在{A}中的表达。
旋转矩阵的列是{B}的单位矢量在{A}中的表达；旋转矩阵的行是{A}的单位矢量在{B}中的表达。

因此，^A_BR为坐标系{A}相对于{B}的描述，各列的模均为1，且旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置，所以它是一个正交矩阵。

3 位姿描述

我们常常讲的位姿就是位置和姿态的组合体，所以它由4个矢量组成。
用^A_BR和^AP_BORG来描述位姿{B}，其中^AP_BORG是确定位姿{B}的原点的位置矢量：

总之，一个参考系可以用一个坐标系相对于另一坐标系的关系来描述。参考系包括了位置和姿态两个概念，大多数情况下被认为是这两个概念的结合。位置可由一个参考系表示，这个参考系中的旋转矩阵是单位阵，并且这个参考系中的位置矢量确定了被描述点的位置。同样，如果参考系中的位置矢量是零矢量，那么它表示的就是姿态。

三 映射

物体在空间里会发生平移和旋转等运动，那么坐标也会发生平移和旋转等。

1 坐标平移

如上图所示，{B}是在{A}的基础上发生了平移，在空间中有一点相对于{B}的位置矢量是^BP，那么该点相对于{A}的位置矢量^AP表示如下：

2 坐标旋转

如上图所示，{B}是在{A}的基础上旋转得到的，已知空间中的一个矢量相对于{B}的定义，那么该矢量相对于{A}的描述可以如下得到：

3 一般变换

若一个坐标系同时包含了坐标平移和坐标旋转，图解如下：

可以得到

并且可以有

其中，4X4的矩阵被称为齐次变换矩阵，该形式便于后续的公式推导。