1、什么是映射？

我们考虑这样的关系：对于集合X中的每一个元素，都有唯一的属于集合Y中的元素被其所指向，我们就称这样的关系叫映射（英：mapping，日：写像（しゃぞう））。这是用很通俗的语言解释定义的映射，而相信大家也都在高中数学必修1里面学过，对映射这个概念想必也都不陌生吧！
从这个定义中，你能get到什么信息呢？
①“X集合中的每一个元素”：如果有集合X的元素不对应集合Y的某个元素的，则不是映射。
②“都有唯一的Y与之对应”：如果有集合X的元素同时指向了集合Y中的两个以上个元素的，则不是映射。

因此，要进入到对今天的主题——单射、满射与双射的区分，首先你得判断，是不是集合X中的所有元素都指向，且只指向了集合Y当中的一个元素呢？只有if（判定的结果==true）时，我们才可以进行下一步的区分判断；else，它连映射都不是，还判断个什么呢？
这就好比，如果说你是一个高三的学生，你连高一年级都不属于，还要去问你是不是高一（7）班的吗？

小结：如果两个集合各自的元素之间的指向关系满足以下两个条件，它就是一个映射关系。此时方可进一步判断，它具体是哪一种映射了。
(1)集合X中的所有元素均有指向集合Y中的某元素，而没有谁不指向的；
(2)集合X中的所有元素均只指向了集合Y中的一个元素，而没有谁指向两个或更多的。

2、映射的分类

2.1 单射

所有被X里的元素指向的Y里的元素，都是只被一个X的元素所指向的，而没有被两个或更多X的元素所指向，那么这种映射关系就叫单射（英：injection，日：単射（たんしゃ））。
单射不考虑是否Y当中的所有元素都无一遗漏地被X的元素所指向了。也可以有Y的元素不被任何X的元素所指向，不影响它是单射。

举个例子。

就比如说看电影吧。有“观众”（X）和“座位”（Y）两个集合。现在我们知道，每一个观众必然会坐在一个座位上，并且他只坐在一个座位上，所以这个对应关系首先是个映射。
又因为每张座位只可被一个观众所对应，不可能一张座上坐两个人，且不是所有座位都一定有观众与之对应的，也可能会有空座位，所以这个对应关系是一种单射关系。

观众与电影院座位（单射）：
①要么没人坐；
②要么只有一个人坐。
（要么不被任何观众所指向，要么只被一个观众所指向）

2.2 满射

Y集合里的所有元素均被X里的元素所指向，集合Y中没有任何一个元素不被集合X的元素所指向的，那么这种映射关系就叫满射（英：surjection，日：全射（ぜんしゃ））。
满射不考虑指向同一个Y的有多少个X。只要所有的Y都被指向到了，就是满射。

再举个例子。

比如说班上分小组吧。每个组至少有一个人，否则就不构成一个组（它就不存在）。那么，每个学生都属于且只属于一个组，这首先是映射。又因为每个组必然包含至少一个学生，也可能有多个学生，所以，“学生”集合（X）与“小组”集合（Y）之间的关系，就是一种满射关系。

学生与分组（满射）：
①要么分组不存在；
②只要存在这个分组，它就一定被一个或多个学生所指向。

2.3 双射

既是单射，又是满射的映射，就叫做双射（英：bijection，日：全単射（ぜんたんしゃ））。
“所有Y中的元素均被X中的元素所指向，且只被X的一个元素所指向。没有不被指向的，也没有被两个或更多X的元素所指向的。”

举个例子。

最典型的，“学生”（X）与其“学生证号码”（Y）。每个学生都必然有且只有一个学生证号，所以这首先是映射。又因为，每个学生证号码都必然被且只被一个学生所指向，没有不被任何学生指向的学生证号码（它是满射），也没有同时被多个学生指向的学生证号码（它也是单射），所以，这个映射关系是一种双射关系。

学生与学生证号码（双射）：
一一对应，互为在彼此的集合里有且只有对方一个与自己相对应的元素。

2.4 既非单射也非满射，但为映射

还有一种映射关系，既不是单射也不是满射。Y中有元素没被X的元素所指向，而被指向的Y的元素，也不是所有都只被一个X元素所指向（存在被多个X元素指向的）。

举个例子。

比如围棋比赛吧。有“棋手”（X）和“棋盘”（Y）两个集合。一个棋手在且只在一个棋盘上下棋，一个棋盘上却有两个棋手。但是，并不是所有的棋盘都会有棋手的。比如，有3个棋盘，却只有4位棋手，那么，必然有一个棋盘是空的，不被任何棋手所指向。
每一个棋手指向且仅指向一个棋盘，这是映射。但是，既不是每个棋盘都必被棋手所指向，也不是每个被指向的棋盘都无一例外只被一个棋手所指向的，所以这种映射关系，既不是满射，也不是单射。

3、你掌握了吗？

你学废了吗？来，来，来，拿出你的小本本和笔，做两道题来练一下吧！

一共有六道题。写出两个集合之间是否存在映射关系，如果存在，写出是哪一种映射关系。
要求：从“单射而非满射”、“满射而非单射”、“双射”、“不是单射也不是满射”、“不是映射”中选词作答。

答案将会在评论区公布。

4、心得

我又听见了那句上学时经常听到的问题：“我知道这个有什么用？我买菜需要用到它吗？”
嗯，你买菜当然不会用到它，你不会跟摊主说，你这菜和你人之间有什么映射关系。
但是，比如说，你在设计数据库的时候，就可以和同一个组的小伙伴讨论道，“这个字段应该是主键。因为它值的集合与这个表中记录的集合呈双射关系。”
而不会是这样的：
“emmm……啊？？主键，我觉得大概可能是这个属性啊。为什么呢？因为……我也说不上来，大概，就是因为那个，它是唯一的。啊不，它可以唯一确定一个人……emmm，一个人只拥有一个这种属性，这种属性也只对应一个人……emmmm，大概也许就是这样吧，我也不是太清楚，我也不太确定，你自己再考虑考虑吧！”