1.1 0 　前　言

边缘是图象最基本的特征. 边缘检测在计算机视觉、图象分析等应用中起着重要的作用,是图象分析与识别的重要环节,这是因为子图象的边缘包含了用于识别的有用信息. 所以边缘检测是图像分析和模式识别的主要特征提取手段。

所谓边缘是指其周围像素灰度后阶变化或屋顶状变化的那些像素的集合,它存在于目标与背景、目标与目标、区域与区域,基元与基元之间。 因此它是图象分割所依赖的重要的特征,也是纹理特征的重要信息源和形状特征的基础;而图象的纹理形状特征的提取又常常依赖于图象分割。 图象的边缘提取也是图象匹配的基础,因为它是位置的标志,对灰度的变化不敏感,它可作为匹配的特征点。

图象的其他特征都是由边缘和区域这些基本特征推导出来的. 边缘具有方向和幅度两个特征. 沿边缘走向,像素值变化比较平缓;而垂直与边缘走向,则像素值变化比较剧烈. 而这种剧烈可能呈现阶跃状,也可能呈现斜坡状。 边缘上像素值的一阶导数较大;二阶导数在边缘处值为零,呈现零交叉。

经典的、最简单的边缘检测方法是对原始图象按像素的某邻域构造边缘算子. 由于原始图象往往含有噪声,而边缘和噪声在空间域表现为灰度有比较大的起落;在频域则反应为同是高频分量,这就给边缘检测带来困难.

Marr 和Hildreth 提出的零交叉边缘检测是一种十分有效的方法,他们认为:其一,图象强度的突变将在一阶导数中产生一个峰或等价于二阶导数中产生一个零交叉(Zero - Crossing) ;其二,图象中的强度变化是以不同的尺度出现的,故应该用若干大小不同的算子才能取得良好的检测效果。

鉴于边缘检测技术的重要性,在此我们有必要对边缘检测技术进行讨论.

 

1.2经典的边缘检测算子

边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对象与背景间的交界线。我们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。图像灰度的变化情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，因此我们可以用局部图像微分技术来获得边缘检测算子。经典的边缘检测方法，是对原始图像中像素的某小邻域来构造边缘检测算子。以下是对几种经典的边缘检测算子进行理论分析，并对各自的性能特点作出了比较和评价

不妨记：▽(x,y)=+  为图像的梯度，▽(x,y)包含灰度变化信息

记： (x,y)=为▽(x,y)的梯度，e(x,y)可以用作边缘检测算子。为了简化计算，也可以将e(x, y)定义为偏导数与的绝对值之和:

=||+||

以这些理论为依据，提出了许多算法，常用的边缘检测方法有:Roberts边缘检测算子、Sobel边缘检测算子、Prewitt边缘检测算子、Canny边缘检测算子、Laplace边缘检测算子等等。

 1.2.1Roberts边缘检测算子

Roberts边缘检测算子根据任意一对互相垂直方向上的差分可用来计算梯度的原理，采用对角线方向相邻两像素之差，即:

         △=- , △=- (1.2.4)

         =或||+||          （1.2.5）

它们的卷积算子       ， 

 

   有了 , 之后，很容易计算出Roberts的梯度幅值，适当取门限TH，作如下判断:  >TH, (i, j)为阶跃状边缘点。{}为边缘图像。

    Roberts算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值检测边缘。检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高，对噪声敏感。

1.2.2 Sobel边缘检测算子

      对数字图像{(i,j)}的每个像素，考察它上、下、左、右邻点灰度的加权差，与之接近的邻点的权大。据此.定义Sobel算子如下:

   ||+||

|(+2+)-(+2+)|+|((i-1,j-1)+2(i,j-1)+(i+1.j-1))-(i-1,j+1)+2(i,j+1)+(i+1.j+1))|

其卷积算子 ，                    

                       图1-4 Sobel边缘检测算子方向模板

适当取门限TH，作如下判断:  >TH, (i, j)为阶跃状边缘点，{ }为边

缘图像。

    Sobel算子很容易在空间上实现，Sobel边缘检测器不但产生较好的边缘检测效果，而且受噪声的影响也比较小。当使用大的领域时，抗噪声特性会更好，但这样做会增加计算量，并且得出的边缘也较粗。

    Sobel算子利用像素点上下、左右邻点的灰度加权算法，根据在边缘点处达到极值这一现象进行边缘的检测。Sobel算子对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信息，但它同时也会检测出许多的伪边缘，边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时，是一种较为常用的边缘检测方法。

1.2.3 Prewitt边缘检测算子

Prewitt算子是一种边缘样板算子。这些算子样板由理想的边缘子图像构成。依次用边缘样板去检测图像，与被检测区域最为相似的样板给出最大值。用这个最大值作为算子的输出值（i,j），这样可将边缘像素检测出来。定义Prewitt边缘检测算子模板如下:

                                          

（a）方向1        （b）方向2           （c）方向3        (d)方向4

                         

       （e）方向5        （f）方向6          （g）方向7         （h）方向8

8个算子样板对应的边缘方向如下图所示:

 

 

 

 

 

 

                              

图1-6样板方向  

适当取门限TH，作如下判断: （i,j） >TH,(i, j)为阶跃状边缘点。{ (i，j)}为边缘图像。

1.2.4 Laplacianof Gaussian(LoG)算子

正如上面所提到的，利用图像强度二阶导数的零交叉点来求边缘点的算法对噪声十分敏感，所以，希望在边缘增强前滤除噪声．为此，Marr和Hildreth[146]将高斯滤波和拉普拉斯边缘检测结合在一起，形成LoG（Laplacian of Gaussian, LoG）算法，也称之为拉普拉斯高斯算法．LoG边缘检测器的基本特征是：

    1． 平滑滤波器是高斯滤波器．

    2． 增强步骤采用二阶导数(二维拉普拉斯函数)．

    3． 边缘检测判据是二阶导数零交叉点并对应一阶导数的较大峰值．

    4． 使用线性内插方法在子像素分辨率水平上估计边缘的位置．

这种方法的特点是图像首先与高斯滤波器进行卷积(高斯滤波器在6．6节中将详细讨论)，这一步既平滑了图像又降低了噪声，孤立的噪声点和较小的结构组织将被滤除．由于平滑会导致边缘的延展，因此边缘检测器只考虑那些具有局部梯度最大值的点为边缘点．这一点可以用二阶导数的零交叉点来实现．拉普拉斯函数用作二维二阶导数的近似，是因为它是一种无方向算子．为了避免检测出非显著边缘，应选择一阶导数大于某一阈值的零交叉点作为边缘点．

LoG算子的输出是通过卷积运算得到的：

根据卷积求导法有

其中：

滤波(通常是平滑)、增强、检测这三个边缘检测步骤对使用LoG边缘检测仍然成立，其中平滑是用高斯滤波器来完成的；增强是将边缘转换成零交叉点来实现的；边缘检测则是通过检测零交叉点来进行的．

可以看到，零交叉点的斜率依赖于图像强度在穿过边缘时的变化对比度．剩下的问题是把那些由不同尺度算子检测到的边缘组合起来．在上述方法中，边缘是在特定的分辨下得到的．为了从图像中得到真正的边缘，有必要把那些通过不同尺度算子得到的信息组合起来．

图1-7   拉普拉斯高斯模板

 

1.2.5 Canny 算子

边缘提取的基本问题是解决增强边缘与抗噪能力间的矛盾，由于图像边缘和噪声在频率域中同是高频分量，简单的微分提取运算同样会增加图像中的噪声，所以一般在微分运算之前应采取适当的平滑滤波，减少噪声的影响。Canny运用严格的数学方法对此问题进行了分析，推导出由# 个指数函数线性组合形式的最佳边缘提取算子网，其算法的实质是用一个准高斯函数作平滑运算，然后以带方向的一阶微分定位导数最大值，Canny算子边缘检测是一种比较实用的边缘检测算子，具有很好的边缘检测性能。Canny边缘检测法利用高斯函数的一阶微分，它能在噪声抑制和边缘检测之间取得较好的平衡。

 

1.2.6 经典边缘提取算子提取图像边缘的结果对比分析

以下分别采用上述几种最常用的经典图像边缘提取算子对标准的tire 图像进行边缘特征提取，其结果如下图所示：

从下图可以看出，Roberts 算子提取边缘的结果边缘较粗，边缘定位不很准确，Sobel算子和Prewitt 算子对边缘的定位就准确了一些，而采用拉普拉斯高斯算子进行边缘提取的结果要明显优于前三种算子，特别是边缘比较完整，位置比较准确。相比而言，Canny 算子提取的边缘最为完整，而且边缘的连续性很好，效果优于以上其他算子，这主要是因为它进行了“非极大值抑制”和形态学连接操作的结果。

上面几种基于微分的经典边缘提取算子，它们共同的优点是计算简单、速度较快，缺点是对噪声的干扰都比较敏感。在实际应用中，由于图像噪声的影响，总要将经典的算法进行改善结合其他一些算法对一幅含噪声的图像进行处理，然后再采用经典的边缘提取算子提取图像边缘。

 

 

2 现代信号处理技术提取图像边缘方法

2.1 基于小波变换多尺度分析的图像边缘提取方法

2.1.1小波变换提取图像边缘的原理

小波变换是近年来兴起的一种热门信号处理方法，它良好的时-频局部特性非常适合于图像处理。小波变换对不同的频率成分在时域上的取样步长具有调节性，高频者小，低频者大的特点。因此，小波变换能够把信号或图像分解成交织在一起的多种尺度成分，并对大小不同的尺度成分采用相应粗细的时域或空域取样步长，从而能够不断地聚焦到对象的任意微小细节。小波变换天生具有的多尺度特性，正好可以用于图像的边缘提取。

多尺度边缘提取思想最初是Rosenfeld提出的，以后经过Mars Hildreth 和Within等人的逐步完善，形成了一整套理论。近年来，随着对小波理论研究的不断深入，它的应用也日趋广泛。

 

2.2基于小波包分解的图像边缘提取方法

基于小波包多分辨率图像边缘提取方法是在小波函数对图像分解的基础上发展起来的，由于小波变换只对图像的低频子带进行分解，并未对图像的高频子带进行分解，这样在滤除噪声影响的同时也损失了一定的图像高频信息，而小波包变换不仅对图像的低频子带进行分解，还对图像的高频子带进行分解，选择的小波包尺度越大，小波系数对应的空间分辨率就越低。与小波分解相比，小波包分解是一种更为精细的分解方法，可以根据信号的特性灵活地选择分解方式，在各种不同分辨率下对各个子图像进行边缘提取工作，尤其对于含噪图像，在提取图像边缘时对噪声的抑制效果更好。某些利用小波包变换进行图像边缘检测和分割的研究业己取得了良好的效果。

2.3基于数学形态学的图像边缘提取方法

数学形态学是一门新兴的图像分析学科，是一种非线性的滤波方法，它以严格的数学理论和几何学为基础，着重研究图像的几何结构及相互关系。数学形态学对图像的处理是基于填放结构元素的概念，结构元素的选择和图像的某种信息有密切的关系，构造不同的结构元素可完成不同的图像分析，并得到不同的结果。数学形态学首先被用来处理二值图像，后来也被用来处理灰度图像，其最大的特点是能将复杂的形状进行分解，并将有意义的形状分量从无用的信息中提取出来。用数学形态学对图像进行处理一般都要结合传统的图像分析方法，由于其出现的时间比较晚，目前还不是很成熟，但也有一些学者进行着这方面的研究探索。

2.4基于分形理论的图像边缘提取方法

任意一幅图像都是有灰度的、非严格自相似的，不具有整体与局部的自相似，但是却存在局部之间的自相似，即从局部上存在一定程度近似的分形结构。正是由于存在局部之间的自相似性，就可以构造了图像的迭代函数。分形几何中的压缩映射定理，可以保证局部迭代函数的收敛，而分形几何中的拼贴定理，就允许一个完整图像分成若干个分形结构，即构成一个迭代函数系统。有了这个迭代函数系统，就必然决定了唯一的分形图形。这个图形被称为迭代函数系统的吸引子。因此，压缩映射定理和拼贴定理，构成了分形在图像处理中的核心部分。

对于给定的一幅图像，寻找一个迭代函数系统，使它的吸引子与原图像尽量地去吻合，因为迭代函数系统的吸引子与原图像间必然存在着差异，图像中的每个子图分形结构也不同程度上存在差异，因此，子图的分形失真度大小不一，处在边缘区的子图的分形失真度比较大，而处在平坦区或纹理区子图的分形失真度相对比较小。因此，就可以利用图像边缘在分形中的这一性质来提取图像的边缘。在检测图像边缘时，采用某种度量方法（如最小二乘法）测量子块与最佳匹配父块的失真度，当计算的失真度值越大时，对应的边缘块越强，否则，对应的边缘块越弱。设定某一阈值，作为区分边缘块的界限，与最佳匹配父块的失真度大于阈值的子块，就被划为边缘块。

目前，虽然有许多学者对基于数学形态学方法和基于分形理论方法提取图像边缘的技术进行了研究，但其技术尚还不够成熟。

3  结束语

该文对各种图像边缘提取算法的基本原理进行了较为详细的分析和阐述，这对于从事数字图像处理领域工作掌握图像边缘提取的有效方法，无疑是非常重要的。就传统的经典图像边缘提取算法，虽然效果不一定最好，但因其算法简单、成熟，计算量小，在经过一些改进之后，仍然有相当大的应用潜力。而小波变换、数学形态学理论、分形理论，都属于近些年发展起来的高新信号处理技术，而且已经成功地运用到了数据压缩等方面，如何最有效地应用这些技术进行图像的边缘提取，仍然是目前研究的一个热点。